Dimostrazioni di limiti che tendono a 0 di funzioni di due variabili per maggiorazione
Salve, come scritto nel titolo mi serve capire come dimostrare l'esistenza di limiti che tendono a 0, di funzioni di due variabili. Tolto il problema di dimostrare la non esistenza tramite le restrizioni, mi ritrovo a dover dimostrare questi limiti, con il teorema del confronto. Quello che faccio è considerare la funzione valore assoluto della mia funzione e cercare una funzione più grande, anch'essa che tenda a 0. In che modo devo ragionare?
Ecco alcuni esempi che mi sono ritrovato a svolgere:
Per la funzione $xy/(y^2 +|x|)$ mi serve: $|xy/(y^2 +|x|)| <= ?$
oppure:
$|xy|/(|root(3)(x^2+y^2)|)<= ?$
Mi piacerebbe capire se esiste una procedura da seguire per risolvere questi problemi, grazie in anticipo.
Ecco alcuni esempi che mi sono ritrovato a svolgere:
Per la funzione $xy/(y^2 +|x|)$ mi serve: $|xy/(y^2 +|x|)| <= ?$
oppure:
$|xy|/(|root(3)(x^2+y^2)|)<= ?$
Mi piacerebbe capire se esiste una procedura da seguire per risolvere questi problemi, grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Shinuhi, benvenut* sul forum!
Come spesso accade in matematica, non è che esista un modo standard per generare disuguaglianze; alcune sono più famose o ricorrenti di altre, ma generalmente devi lavorare di creatività. Per il primo, potresti notare che $y^2+|x| \ge |x|$. Per il secondo, puoi provare a ragionare similmente.
Come spesso accade in matematica, non è che esista un modo standard per generare disuguaglianze; alcune sono più famose o ricorrenti di altre, ma generalmente devi lavorare di creatività. Per il primo, potresti notare che $y^2+|x| \ge |x|$. Per il secondo, puoi provare a ragionare similmente.
Innanzitutto, una piccola nota lessicale: i limiti NON "tendono a..." né "si avvicinano a...", ma "sono uguali a..." oppure semplicemente "sono..."; al contrario, le funzioni "tendono a..." o "si avvicinano a...".
Dunque, nel tuo caso la domanda è: come faccio ad usare la definizione di limite per dimostrare che il limite di una data funzione è zero.
La risposta te la sei data già (parzialmente): si usano maggiorazioni;[nota]Perché, come diceva il saggio: "L'Analisi Matematica è l'arte delle disuguaglianze".[/nota] in particolare, si cerca di maggiorare il valore assoluto di $f(x,y)$ con una funzione -preferibilmente di una sola variabile o comunque "più semplice"- che si può dire "ad occhio" che è infinitesima nel punto di accumulazione considerato.
Questa è una tecnica generale:[nota]Difatti, vale anche nel caso di funzioni di più di due variabili... Ma anche nel caso di funzioni di una sola variabile![/nota] se vuoi dimostrare che $lim_((x,y) -> (x_0,y_0)) f(x,y) = l$, ti basta provare che esiste una funzione "semplice" $M(x,y)$ tale che:
[list=1][*:3bs15rq0] $0<= |f(x,y) - l| <= M(x,y)$ in un intorno forato di $(x_0,y_0)$,
[/*:m:3bs15rq0]
[*:3bs15rq0] $lim_((x,y) -> (x_0,y_0)) M(x,y) = 0$.[/*:m:3bs15rq0][/list:o:3bs15rq0]
In assenza di termini "brutti", la funzione maggiorante "semplice" $M(x,y)$ puoi pensare di cercarla come somma di potenze ad esponente positivo/non negativo di $|x|$ ed $|y|$, cioè del tipo:
$M(x,y) = C_1 |x|^(a_1) |y|^(b_1)+ C_2 |x|^(a_2) |y|^(b_2) + \cdots + C_n |x|^(a_n) |y|^(b_n)$
con $a_1,b_1, ..., a_n,b_n >=0$ ed almeno uno $>0$ e con $C_1,...,C_n >=0$ ed almeno quello corrispondente alla potenza con esponente positivo a sua volta $>0$.
Nei casi in esame, quindi, puoi provare a fare carte false per far scomparire i denominatori ed ottenere delle espressioni intere "pulite".
Prendiamo il primo caso, cioè:
$|f(x,y)| = |(xy)/(y^2 + |x|)| = (|xy|)/abs(y^2 + abs(x)) = (|x|*|y|)/(y^2 + |x|)$;
Dato che gli addendi $|x|$ ed $y^2$ al denominatore dell'ultima espressione sono non negativi, cancellandone uno la frazione aumenta: quindi hai davanti a te due strade o cancellare $|x|$ oppure $y^2$... Vediamo cosa succede:
[list=a][*:3bs15rq0] se cancelli $|x|$ (perché ti sembra più brutto, ad esempio), ottieni:
$|f(x,y)| <= (|x|*|y|)/(y^2) = |x|/|y| = M(x,y)$
ma questa funzione $M(x,y)$ ha due problemi:
Dunque, nel tuo caso la domanda è: come faccio ad usare la definizione di limite per dimostrare che il limite di una data funzione è zero.
La risposta te la sei data già (parzialmente): si usano maggiorazioni;[nota]Perché, come diceva il saggio: "L'Analisi Matematica è l'arte delle disuguaglianze".[/nota] in particolare, si cerca di maggiorare il valore assoluto di $f(x,y)$ con una funzione -preferibilmente di una sola variabile o comunque "più semplice"- che si può dire "ad occhio" che è infinitesima nel punto di accumulazione considerato.
Questa è una tecnica generale:[nota]Difatti, vale anche nel caso di funzioni di più di due variabili... Ma anche nel caso di funzioni di una sola variabile![/nota] se vuoi dimostrare che $lim_((x,y) -> (x_0,y_0)) f(x,y) = l$, ti basta provare che esiste una funzione "semplice" $M(x,y)$ tale che:
[list=1][*:3bs15rq0] $0<= |f(x,y) - l| <= M(x,y)$ in un intorno forato di $(x_0,y_0)$,
[/*:m:3bs15rq0]
[*:3bs15rq0] $lim_((x,y) -> (x_0,y_0)) M(x,y) = 0$.[/*:m:3bs15rq0][/list:o:3bs15rq0]
In assenza di termini "brutti", la funzione maggiorante "semplice" $M(x,y)$ puoi pensare di cercarla come somma di potenze ad esponente positivo/non negativo di $|x|$ ed $|y|$, cioè del tipo:
$M(x,y) = C_1 |x|^(a_1) |y|^(b_1)+ C_2 |x|^(a_2) |y|^(b_2) + \cdots + C_n |x|^(a_n) |y|^(b_n)$
con $a_1,b_1, ..., a_n,b_n >=0$ ed almeno uno $>0$ e con $C_1,...,C_n >=0$ ed almeno quello corrispondente alla potenza con esponente positivo a sua volta $>0$.
Nei casi in esame, quindi, puoi provare a fare carte false per far scomparire i denominatori ed ottenere delle espressioni intere "pulite".
Prendiamo il primo caso, cioè:
$|f(x,y)| = |(xy)/(y^2 + |x|)| = (|xy|)/abs(y^2 + abs(x)) = (|x|*|y|)/(y^2 + |x|)$;
Dato che gli addendi $|x|$ ed $y^2$ al denominatore dell'ultima espressione sono non negativi, cancellandone uno la frazione aumenta: quindi hai davanti a te due strade o cancellare $|x|$ oppure $y^2$... Vediamo cosa succede:
[list=a][*:3bs15rq0] se cancelli $|x|$ (perché ti sembra più brutto, ad esempio), ottieni:
$|f(x,y)| <= (|x|*|y|)/(y^2) = |x|/|y| = M(x,y)$
ma questa funzione $M(x,y)$ ha due problemi:
- [*:3bs15rq0] non maggiora $f(x,y)$ in tutto un intorno forato di $(0,0)$ (perché non è definita per $y=0$)
[/*:m:3bs15rq0]
[*:3bs15rq0] non ha alcun limite per $(x,y) -> (0,0)$...[/*:m:3bs15rq0][/list:u:3bs15rq0]
Quindi non te ne fai nulla!
[/*:m:3bs15rq0]
[*:3bs15rq0] se cancelli $y^2$, invece, ottieni:
$|f(x,y)| <= (|x|*|y|)/|x| = |y| = M(x,y)$
e questa funzione $M(x,y)$:
- [*:3bs15rq0] maggiora $|f(x,y)|$ ovunque in $RR^2 \setminus \{ (0,0)\}$[nota]Gli unici punti in cui potrebbero aversi problemi sono quelli con $x=0$ (in cui la semplificazione non è corretta!); però si vede facilmente che $|f(0,y)|= 0 <= M(0,y)$, quindi la maggiorazione sta ancora in piedi.
[/nota][/*:m:3bs15rq0]
[*:3bs15rq0] è chiaramente infinitesima per $(x,y) -> (0,0)$[nota]Questo fatto è evidente ma, se vuoi approfondire, puoi osservare che $|y| = sqrt(y^2) <= sqrt(x^2 + y^2)$ e la funzione ad ultimo membro è il prototipo delle funzioni infinitesime in $(0,0)$, essendo la distanza di $(x,y)$ da $(0,0)$.[/nota]...[/*:m:3bs15rq0][/list:u:3bs15rq0]
Quindi hai vinto: questa $M(x,y) = |y|$ è una funzione che puoi usare per sfruttare il Teorema del Confronto.
[/*:m:3bs15rq0][/list:o:3bs15rq0]Riesci a fare considerazioni analoghe per il secondo esercizio?
Ciao Shinuhi,
Un'altra disuguaglianza abbastanza standard che si usa spesso in questo tipo di dimostrazioni deriva dal fatto che si ha:
$(x - y)^2 \ge 0 \implies x^2 + y^2 \ge 2xy \implies xy \le (x^2 + y^2)/2 $
Potresti anche dare un'occhiata ad esempio qui.
Un'altra disuguaglianza abbastanza standard che si usa spesso in questo tipo di dimostrazioni deriva dal fatto che si ha:
$(x - y)^2 \ge 0 \implies x^2 + y^2 \ge 2xy \implies xy \le (x^2 + y^2)/2 $
Potresti anche dare un'occhiata ad esempio qui.
Grazie a tutti per le vostre risposte, mi avete aiutato molto anche se devo ancora abituarmici. Grazie mille
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