Derivabilità con valore assoluto
Ciao ragazzi, vi mando uno screen di un esercizio che chiede di individuare quali funzioni non sono derivabili nel punto (0;0). Nell'applicare la formula riesco abbastanza agevolmente ad escluderne alcune, o comunque mi riescono abbastanza facilmente altri esercizi. Ho però difficoltà a ragionare sulla c.
$f(x,y)=e^sqrt(x^2+y^2)$
Applicando la formula (per la c) mi trovo:
$((e^|h|)-1)/h$ chiaramente con il limite per h che tende a zero.
La prof ha detto che è proprio questa a non essere derivabile nel punto (0;0). L'anomalia sta con il modulo, poichè graficamente in zero si ha una cuspide e quindi si dovrebbe studiare il limite da destra e da sinistra giusto? Ebbene ho difficoltà sul portare avanti questo ragionamento e questi calcoli.
Grazie a chi rispondera!!!
$f(x,y)=e^sqrt(x^2+y^2)$
Applicando la formula (per la c) mi trovo:
$((e^|h|)-1)/h$ chiaramente con il limite per h che tende a zero.
La prof ha detto che è proprio questa a non essere derivabile nel punto (0;0). L'anomalia sta con il modulo, poichè graficamente in zero si ha una cuspide e quindi si dovrebbe studiare il limite da destra e da sinistra giusto? Ebbene ho difficoltà sul portare avanti questo ragionamento e questi calcoli.
Grazie a chi rispondera!!!
Risposte
Ciao! Potresti cortesemente modificare il messaggio e riportare il testo con le formule integrate al forum? Le foto tendono a scomparire col tempo, rendendo il messaggio incomprensibile a coloro che lo vedranno in futuro (e uno degli obiettivi del forum è aiutare chiunque passi da queste parti). Grazie!
Per quanto riguarda l'esercizio, prova a distinguere $h>0$ o $h<0$ (quindi, a considerare il limite della definizione di derivata con $h \to 0^+$ o $h\to 0^-$); in questi due casi distinti, come puoi riscrivere la funzione $\frac{e^{|h|}-1}{h}$? Questo dovrebbe permetterti di concludere.
Per quanto riguarda l'esercizio, prova a distinguere $h>0$ o $h<0$ (quindi, a considerare il limite della definizione di derivata con $h \to 0^+$ o $h\to 0^-$); in questi due casi distinti, come puoi riscrivere la funzione $\frac{e^{|h|}-1}{h}$? Questo dovrebbe permetterti di concludere.
Ho prontamente modificato il testo, però sono sincero, devo leggermi bene la guida per scrivere le formule poichè voglio poi scriverle in maniera sistemata.
Intanto ti ringrazio per la risposta, e ragionando mi trovo una cosa di questo tipo, però non so se è corretta:
per h che tende a zero da destra;
$(e^h-1)/h$ che è un limite notevole e fa appunto 1
per h che tende a zero da sinistra:
$(e^-h-1)/-h$ cioè $((1/e^h)-1)/-h$
Spero sia corretto fin qui come procedimento.
Intanto mi sto leggendo la guida su come scrivere per bene le formule dato che così non tanto mi piace
Grazie a tuttiiii
Intanto ti ringrazio per la risposta, e ragionando mi trovo una cosa di questo tipo, però non so se è corretta:
per h che tende a zero da destra;
$(e^h-1)/h$ che è un limite notevole e fa appunto 1
per h che tende a zero da sinistra:
$(e^-h-1)/-h$ cioè $((1/e^h)-1)/-h$
Spero sia corretto fin qui come procedimento.
Intanto mi sto leggendo la guida su come scrivere per bene le formule dato che così non tanto mi piace
Grazie a tuttiiii
Prego, e grazie mille per aver modificato il messaggio!
Corretto.
Questo no, se $h$ tende a $0$ da sinistra devi lasciare $h$ a denominatore perché la negatività di $h$ è già considerata nel fatto che $h\to 0^-$. Il numeratore è invece corretto. Corretto il denominatore, prova a proseguire con i conti e vedere cosa ti esce.
"RTorque":
per h che tende a zero da destra;
$\frac{e^h−1}{h}$ che è un limite notevole e fa appunto 1
per h che tende a zero da sinistra:
Corretto.
"RTorque":
per h che tende a zero da sinistra:
$\frac{e^{−h}−1}{−h}$ cioè $\frac{\left(\frac{1}{e^h}\right)−1}{−h}$
Questo no, se $h$ tende a $0$ da sinistra devi lasciare $h$ a denominatore perché la negatività di $h$ è già considerata nel fatto che $h\to 0^-$. Il numeratore è invece corretto. Corretto il denominatore, prova a proseguire con i conti e vedere cosa ti esce.
Non modifico il messaggio, così gli errori possono tornare utili anche ad altri utenti.
Potresti spiegarmi meglio perchè non devo considerare la negatività al denominatore ma solo al numeratore?
Non mi è chiara la frase "la negatività di h è già considerata nel fatto che $h->0^-$". Cioè quello che mi viene da pensare è che l'esponenziale con il modulo è quello che crea problemi e quindi è lì che si ragiona con il limite da sinistra e da destra...non so se mi sono spiegato ecco.
$ ((1/e^h)-1)/h $ = $((1-e^h)/(e^h))/h$ = $ (1-e^h)/(he^h)$
E se fin qui è corretto mi daresti una dritta su come proseguire? Non so se è corretto ma ho sfruttato Taylor e se l'intuizione è giusta scriverò poi il procedimento
Grazie infinite!
Potresti spiegarmi meglio perchè non devo considerare la negatività al denominatore ma solo al numeratore?
Non mi è chiara la frase "la negatività di h è già considerata nel fatto che $h->0^-$". Cioè quello che mi viene da pensare è che l'esponenziale con il modulo è quello che crea problemi e quindi è lì che si ragiona con il limite da sinistra e da destra...non so se mi sono spiegato ecco.
$ ((1/e^h)-1)/h $ = $((1-e^h)/(e^h))/h$ = $ (1-e^h)/(he^h)$
E se fin qui è corretto mi daresti una dritta su come proseguire? Non so se è corretto ma ho sfruttato Taylor e se l'intuizione è giusta scriverò poi il procedimento
Grazie infinite!
Allora $f$ risulta derivabile parzialmente rispetto a $x$ e $y$ in $(0,0)$ (perché il limite è lo stesso sia nella prima che nella seconda variabile in $(0,0)$). Un limite per $x \to x_0 \in \mathbb{R}$, con $x_0$ punto di accumulazione, esiste se e solo se esistono e coincidono i limiti destro e sinistro:
$$\lim_{h \to 0^+} \frac{e^{|h|}-1}{h}$$
$$\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{|h|}-1}{h}$$
Ciò premesso, dato che è presente $|h|$ e tale modulo si discute a seconda del segno di $h$, ci riconduciamo all'equivalenza tra "esistenza del limite" e "limiti destro e sinistro esistono coincidenti" in modo da sbarazzarci del modulo; infatti, sarà $|h|=h$ per $h\to 0^+$ e sarà $|h|=-h$ per $h \to 0^-$. Ma il limite che devi calcolare non cambia a seconda che $h \to 0^+$ o $h \to 0^-$, ossia a denominatore hai sempre $h$ anche per il limite sinistro.
Corretto. Prova a raccogliere un segno meno a fattor comune e passare al limite!
$$\lim_{h \to 0^+} \frac{e^{|h|}-1}{h}$$
$$\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{|h|}-1}{h}$$
Ciò premesso, dato che è presente $|h|$ e tale modulo si discute a seconda del segno di $h$, ci riconduciamo all'equivalenza tra "esistenza del limite" e "limiti destro e sinistro esistono coincidenti" in modo da sbarazzarci del modulo; infatti, sarà $|h|=h$ per $h\to 0^+$ e sarà $|h|=-h$ per $h \to 0^-$. Ma il limite che devi calcolare non cambia a seconda che $h \to 0^+$ o $h \to 0^-$, ossia a denominatore hai sempre $h$ anche per il limite sinistro.
"RTorque":
$ ((1/e^h)-1)/h $ = $ ((1-e^h)/(e^h))/h $ = $ (1-e^h)/(he^h) $
Corretto. Prova a raccogliere un segno meno a fattor comune e passare al limite!
$-((e^h-1))/(he^h)$
Abbiamo un limite notevole che tende a 1 quando x tende a zero
Poi abbiamo $1/e^h$ che tende a 1 quando h tende a zero
In conclusione con il segno meno il risultato sarà -1.
Volevo chiedervi, giusto per fare un pò di ordine mentale:
Questo procedimento del limite destro/sinistro va fatto quando ci si accorge che ci sono funzioni (come modulo di x) che sappiamo avere "problemi" nel punto in questione (nel nostro caso (0;0))?
E poi (non so se ho capito bene) x che tende a zero da destra e da sinistra lo applichiamo solo alla funzione avente il problema in zero? (Nel nostro caso modulo di x?)
Abbiamo un limite notevole che tende a 1 quando x tende a zero
Poi abbiamo $1/e^h$ che tende a 1 quando h tende a zero
In conclusione con il segno meno il risultato sarà -1.
Volevo chiedervi, giusto per fare un pò di ordine mentale:
Questo procedimento del limite destro/sinistro va fatto quando ci si accorge che ci sono funzioni (come modulo di x) che sappiamo avere "problemi" nel punto in questione (nel nostro caso (0;0))?
E poi (non so se ho capito bene) x che tende a zero da destra e da sinistra lo applichiamo solo alla funzione avente il problema in zero? (Nel nostro caso modulo di x?)
Esatto, sia il risultato che i conti. Il limite sinistro è $-1$. Quindi, come concludi l'esercizio?
Hai un po' le idee confuse. Abbiamo considerato i limiti destro e sinistro per due motivi sinergici, volti allo stesso obiettivo: stabilire se esiste finito il limite del rapporto incrementale in $(0,0)$ (e quindi, per definizione, stabilire se se la funzione è derivabile nell'origine) e, eventualmente, calcolarlo. Il primo motivo è nell'equivalenza tra l'esistenza dei limiti destro e sinistro coincidenti con l'esistenza del limite "intero" (quello senza un verso specifico) e avente lo stesso valore del valore comune dei limiti destro e sinistro; incidentalmente, considerati i limiti destro e sinistro, hai informazioni sul segno di $h$ e perciò $|h|$ si riesce ad eliminare in base alla definizione di modulo. Non c'è altro: anche perché, come lo calcoli quel limite per $h \to 0$ (senza verso specifico) senza discutere $|h|$ (con discutere il modulo intendo usare la sua definizione, ossia capire se $|h|$ è uguale ad $h$ o uguale a $-h$)? E, una volta accettato che va discusso $|h|$, come lo discuti $|h|$ se non hai informazioni sul segno di $h$? Alla fine, tutto va verso distinguere limiti destro e sinistro. Non è una questione di "problemi nell'origine". Ad esempio, anche:
$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$$
Si approccia con limiti destro e sinistro, eppure non ci sono né moduli né, tantomeno, si sta parlando di derivabilità di $1/x$ in punti "problematici".
Innanzitutto, che vuol dire "avere problemi in un punto"? Ho una vaga impressione di cosa intendi, ma devo vederlo scritto da te per capire se intendiamo la stessa cosa e, soprattutto, se ti è chiaro come si studia la derivabilità di una funzione. Potresti non avere ben chiaro che cosa significa studiare la derivabilità di una funzione, e questo spiegherebbe i tuoi dubbi. Facciamo una prova in una variabile. Prova a studiarmi la derivabilità su tutto $\mathbb{R}$ della funzione:
$$\begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, \ \text{se} \ x \ne 0 \\ 0, \ \text{se} \ x=0\end{cases}$$
Anche a costo di essere pedante, giustifica ogni affermazione che fai (citando teoremi o proprietà).
"RTorque":
Volevo chiedervi, giusto per fare un pò di ordine mentale:
Questo procedimento del limite destro/sinistro va fatto quando ci si accorge che ci sono funzioni (come modulo di x) che sappiamo avere "problemi" nel punto in questione (nel nostro caso (0;0))?
E poi (non so se ho capito bene) x che tende a zero da destra e da sinistra lo applichiamo solo alla funzione avente il problema in zero? (Nel nostro caso modulo di x?)
Hai un po' le idee confuse. Abbiamo considerato i limiti destro e sinistro per due motivi sinergici, volti allo stesso obiettivo: stabilire se esiste finito il limite del rapporto incrementale in $(0,0)$ (e quindi, per definizione, stabilire se se la funzione è derivabile nell'origine) e, eventualmente, calcolarlo. Il primo motivo è nell'equivalenza tra l'esistenza dei limiti destro e sinistro coincidenti con l'esistenza del limite "intero" (quello senza un verso specifico) e avente lo stesso valore del valore comune dei limiti destro e sinistro; incidentalmente, considerati i limiti destro e sinistro, hai informazioni sul segno di $h$ e perciò $|h|$ si riesce ad eliminare in base alla definizione di modulo. Non c'è altro: anche perché, come lo calcoli quel limite per $h \to 0$ (senza verso specifico) senza discutere $|h|$ (con discutere il modulo intendo usare la sua definizione, ossia capire se $|h|$ è uguale ad $h$ o uguale a $-h$)? E, una volta accettato che va discusso $|h|$, come lo discuti $|h|$ se non hai informazioni sul segno di $h$
? Alla fine, tutto va verso distinguere limiti destro e sinistro. Non è una questione di "problemi nell'origine". Ad esempio, anche:$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$$
Si approccia con limiti destro e sinistro, eppure non ci sono né moduli né, tantomeno, si sta parlando di derivabilità di $1/x$ in punti "problematici".
Innanzitutto, che vuol dire "avere problemi in un punto"? Ho una vaga impressione di cosa intendi, ma devo vederlo scritto da te per capire se intendiamo la stessa cosa e, soprattutto, se ti è chiaro come si studia la derivabilità di una funzione. Potresti non avere ben chiaro che cosa significa studiare la derivabilità di una funzione, e questo spiegherebbe i tuoi dubbi. Facciamo una prova in una variabile. Prova a studiarmi la derivabilità su tutto $\mathbb{R}$ della funzione:
$$\begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, \ \text{se} \ x \ne 0 \\ 0, \ \text{se} \ x=0\end{cases}$$
Anche a costo di essere pedante, giustifica ogni affermazione che fai (citando teoremi o proprietà).
Grazie mille per i chiarimenti. Ci tengo a specificare che questi esercizi sono a risposta multipla e sono uno sbarramento. Conta solo la risposta corretta, null'altro. Paradossalmente avrei potuto ragionare per esclusione lavorando velocemente sulle altre 3 funzioni (risultavano derivabili in (0;0) ) e dire quindi che quella da noi trattata non è derivabile in (0;0).
(L'esercizio chiedeva quali tra quelle quattro funzioni non fosse derivabile in (0;0))
Questo però non fa bene alla matematica e non fa bene a me, che preferisco "capire" piuttosto che attuare altri ragionamenti, seppur magari validi.
Per cui vi ringrazio davvero per le delucidazioni.
L'esercizio lo concludo dicendo che siccome il limite destro e il limite sinistro sono diversi allora il limite non esiste e di conseguenza la funzione in questione non è derivabile in (0;0).
Per $1/x$ abbiamo che è verificata per $x!=0$ per cui non possiamo fare il limite per x che tende ad un punto non appartenente al dominio. E dunque lo analizziamo considerando il limite di x che tende a zero destra e da sinistra.
Per la derivabilità della funzione a una variabile domani la risolvo e vi illustro i ragionamenti.
(L'esercizio chiedeva quali tra quelle quattro funzioni non fosse derivabile in (0;0))
Questo però non fa bene alla matematica e non fa bene a me, che preferisco "capire" piuttosto che attuare altri ragionamenti, seppur magari validi.
Per cui vi ringrazio davvero per le delucidazioni.
L'esercizio lo concludo dicendo che siccome il limite destro e il limite sinistro sono diversi allora il limite non esiste e di conseguenza la funzione in questione non è derivabile in (0;0).
Per $1/x$ abbiamo che è verificata per $x!=0$ per cui non possiamo fare il limite per x che tende ad un punto non appartenente al dominio. E dunque lo analizziamo considerando il limite di x che tende a zero destra e da sinistra.
Per la derivabilità della funzione a una variabile domani la risolvo e vi illustro i ragionamenti.
Prego! Non c'è bisogno di darmi del lei/voi, sul forum ci si dà del tu .
Fai bene e voler capire il più possibile, nonostante il formato dell'esame.
Esatto.
Innanzitutto, $1/x$ è definita per $x \ne 0$ e non "verificata"; anche se qui ci sarebbe da dire che le funzioni, in realtà, si definiscono un po' dove ci pare (ossia, il dominio di una funzione è un insieme già dato e non va trovato). Quello di cui parliamo qui è il cosiddetto dominio naturale (o insieme di definizione) di $1/x$, ossia "il più grande" insieme per cui $1/x$ "ha senso". Poi, c'è un errore: i limiti si fanno anche nei punti in cui le funzioni non sono definite. Anzi, sono i casi più interessanti: ad esempio, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
Quando vuoi sono qui.
."RTorque":
Ci tengo a specificare che questi esercizi sono a risposta multipla e sono uno sbarramento. Conta solo la risposta corretta, null'altro. Paradossalmente avrei potuto ragionare per esclusione lavorando velocemente sulle altre 3 funzioni (risultavano derivabili in (0;0) ) e dire quindi che quella da noi trattata non è derivabile in (0;0).
(L'esercizio chiedeva quali tra quelle quattro funzioni non fosse derivabile in (0;0))
Questo però non fa bene alla matematica e non fa bene a me, che preferisco "capire" piuttosto che attuare altri ragionamenti, seppur magari validi.
Fai bene e voler capire il più possibile, nonostante il formato dell'esame.
"RTorque":
L'esercizio lo concludo dicendo che siccome il limite destro e il limite sinistro sono diversi allora il limite non esiste e di conseguenza la funzione in questione non è derivabile in (0;0).
Esatto.
"RTorque":
Per 1x abbiamo che è verificata per x≠0 per cui non possiamo fare il limite per x che tende ad un punto non appartenente al dominio. E dunque lo analizziamo considerando il limite di x che tende a zero destra e da sinistra.
Innanzitutto, $1/x$ è definita per $x \ne 0$ e non "verificata"; anche se qui ci sarebbe da dire che le funzioni, in realtà, si definiscono un po' dove ci pare (ossia, il dominio di una funzione è un insieme già dato e non va trovato). Quello di cui parliamo qui è il cosiddetto dominio naturale (o insieme di definizione) di $1/x$, ossia "il più grande" insieme per cui $1/x$ "ha senso". Poi, c'è un errore: i limiti si fanno anche nei punti in cui le funzioni non sono definite. Anzi, sono i casi più interessanti: ad esempio, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
"RTorque":
Per la derivabilità della funzione a una variabile domani la risolvo e vi illustro i ragionamenti.
Quando vuoi sono qui
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