Area grafico funzione a 2 variabili
Ciao a tutti,
Da ieri mi incaponisco su questo esercizio, che mi chiede di trovare l'area del grafico di $f(x,y)=xy$ definito su $A={(x,y): x^2+y^2<=1 , x>=0}$
Io so che l'insieme indicato è un cerchio di raggio 1 centrato in 0, con considerati solo il primo e il quarto quadrante. Ho sostituito in coordinate polari ma probabilmente mi perdo nei passaggi algebrici perché mi dovrebbe venire un risultato con il $pi$ mentre mi ritrovo alla fine della risoluzione dell'integrale senza.
Ah, come estremi d'integrazione ho scelto $ pi/2 , (3/4) pi$ per $dtheta$ e $1,0$ per $drho$, forse sbaglio qui.
Qualcuno può dirmi come lo risolverebbe?
Da ieri mi incaponisco su questo esercizio, che mi chiede di trovare l'area del grafico di $f(x,y)=xy$ definito su $A={(x,y): x^2+y^2<=1 , x>=0}$
Io so che l'insieme indicato è un cerchio di raggio 1 centrato in 0, con considerati solo il primo e il quarto quadrante. Ho sostituito in coordinate polari ma probabilmente mi perdo nei passaggi algebrici perché mi dovrebbe venire un risultato con il $pi$ mentre mi ritrovo alla fine della risoluzione dell'integrale senza.
Ah, come estremi d'integrazione ho scelto $ pi/2 , (3/4) pi$ per $dtheta$ e $1,0$ per $drho$, forse sbaglio qui.
Qualcuno può dirmi come lo risolverebbe?
Risposte
.
Ciao sellacollesella,
Come mai hai inserito anche la variabile z?
Solitamente ho sempre risolto con 2, è necessario? se sì, come ti sei ricavato la sua equazione?
Come mai hai inserito anche la variabile z?
Solitamente ho sempre risolto con 2, è necessario? se sì, come ti sei ricavato la sua equazione?
.
.
Grazie, chiarissimo!
Mi trovo però in difficoltà nell'impostare l'integrale, includerò $rho^3 cos(\theta)sin(\theta) drho d\theta$ ma la $z$ dove la metto?
Mi trovo però in difficoltà nell'impostare l'integrale, includerò $rho^3 cos(\theta)sin(\theta) drho d\theta$ ma la $z$ dove la metto?
Ciao fal944,
$z = f(x,y) = xy $
Procedendo come ha indicato sellacollesella nel suo ultimo post mi risulta:
[tex]||\Sigma|| = \iint\limits_{\{x^2+y^2\le1,\,x\ge 0\}} \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,\text{d}x\,\text{d}y = \frac{2\sqrt2 - 1}{3}\pi[/tex]
$z = f(x,y) = xy $
Procedendo come ha indicato sellacollesella nel suo ultimo post mi risulta:
[tex]||\Sigma|| = \iint\limits_{\{x^2+y^2\le1,\,x\ge 0\}} \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,\text{d}x\,\text{d}y = \frac{2\sqrt2 - 1}{3}\pi[/tex]
.
"pilloeffe":
Ciao fal944,
$z = f(x,y) = xy $
Procedendo come ha indicato sellacollesella nel suo ultimo post mi risulta:
[tex]||\Sigma|| = \iint\limits_{\{x^2+y^2\le1,\,x\ge 0\}} \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,\text{d}x\,\text{d}y = \frac{2\sqrt2 - 1}{3}\pi[/tex]
Ciao pilloeffe,
Come hai impostato l'integrale? Provo a seguire la tua strada
Beh, passando in coordinate polari l'integrale da risolvere è il seguente:
$\int_0^1 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \rho \sqrt{1 + \rho^2}\text{d}\rho \text{d}\theta = \pi \int_0^1 \rho \sqrt{1 + \rho^2}\text{d}\rho $
L'ultimo integrale è immediato perché si può facilmente ricondurre ad un integrale del tipo seguente:
$\int [g(\rho)]^a g'(\rho) \text{d}\rho = [g(\rho)]^{a + 1}/(a + 1) + c $
Passando all'integrale definito e considerando che nel caso in esame $g(\rho) = 1 + \rho^2 $ e $a = 1/2 $, si ottiene proprio il risultato che ho già scritto nel mio post precedente.
$\int_0^1 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \rho \sqrt{1 + \rho^2}\text{d}\rho \text{d}\theta = \pi \int_0^1 \rho \sqrt{1 + \rho^2}\text{d}\rho $
L'ultimo integrale è immediato perché si può facilmente ricondurre ad un integrale del tipo seguente:
$\int [g(\rho)]^a g'(\rho) \text{d}\rho = [g(\rho)]^{a + 1}/(a + 1) + c $
Passando all'integrale definito e considerando che nel caso in esame $g(\rho) = 1 + \rho^2 $ e $a = 1/2 $, si ottiene proprio il risultato che ho già scritto nel mio post precedente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo