Determinare e classificare i punti critici di f
Ciao a tutti! Ho svolto il seguente esercizio:
Determinare i punti critici di $f$ e stabilire se sono massimi relativi, minimi relativi, o punti sella
$f(x,y)=e^{-(x^2+y)}$
Dal sistema:
[tex]\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{x}=0\ \text{ovvero} \ -2xe^{-(x^2+y)}=0 \\
\frac{\partial f}{y}=0\ \text{ovvero} \ -e^{-(x^2+y)}=0
\end{array}
\right.[/tex]
Ne ho dedotto che i punti candidati (o critici?) sono del tipo $P_y=(0,y)$
La matrice Hessiana calcolata in $P_y$ è:
$H[f](P_y)=[[-2e^{-y},0],[0,e^{-y}]]$ il cui determinante è: $-2e^{-2y}$
Studiando il segno del determinante:
$-2e^{-2y}<0,\ \forall y$ concludo che tutti i punti candidati (o critici?) cioè $P_y=(0,y)$,
sono punti sella, e non esistono massimi ne minimi.
È corretto?
I punti $P_y$ si chiamano punti candidati o punti critici?
Grazie!
Determinare i punti critici di $f$ e stabilire se sono massimi relativi, minimi relativi, o punti sella
$f(x,y)=e^{-(x^2+y)}$
Dal sistema:
[tex]\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{x}=0\ \text{ovvero} \ -2xe^{-(x^2+y)}=0 \\
\frac{\partial f}{y}=0\ \text{ovvero} \ -e^{-(x^2+y)}=0
\end{array}
\right.[/tex]
Ne ho dedotto che i punti candidati (o critici?) sono del tipo $P_y=(0,y)$
La matrice Hessiana calcolata in $P_y$ è:
$H[f](P_y)=[[-2e^{-y},0],[0,e^{-y}]]$ il cui determinante è: $-2e^{-2y}$
Studiando il segno del determinante:
$-2e^{-2y}<0,\ \forall y$ concludo che tutti i punti candidati (o critici?) cioè $P_y=(0,y)$,
sono punti sella, e non esistono massimi ne minimi.
È corretto?
I punti $P_y$ si chiamano punti candidati o punti critici?
Grazie!
Risposte
Scusa, JackedTux, quali sono le soluzioni della seconda equazione del sistema?
"gugo82":
Scusa, JackedTux, quali sono le soluzioni della seconda equazione del sistema?
Non esistono, e invece io sono andato avanti come se la $y$ fosse libera, cioè per ogni y invece che non esiste y.
Quindi dovevo fermarmi già li e dire subito che non esistono punti critici (o candidati?)
È così?
E sì... 
"gugo82":
E sì...
già
Grazie!Probabilmente non esiste manco una funzione con infiniti punti di sella in una direzione fissata l'altra. (?)
Comunque punti candidati o punti critici sono sinonimi quindi?
"JackedTux":
...
Comunque punti candidati o punti critici sono sinonimi quindi?
Mi riferisco a funzioni reali di più variabili reali. Credo sia questo il contesto in cui poni la tua domanda.
No, non sono sinonimi, per me. Ma vorrei osservare come l'uso di un termine o di un altro è più una questione di ambiente.
Credo che sia sufficientemente universale definire un punto critico come un punto in cui si annullano le derivate parziali. Non so se qualcuno ci aggiunge qualche altra condizione. Direi di no, ma di matematici al mondo ce ne sono tanti (per es: quanti si "laureano" in matematica ogni anno?).
La terminologia "punti candidati" ha a mio parere un habitat peculiare: le lezioni di analisi matematica, e soprattutto gli esercizi. Si vuole (ad esempio) che lo studente trovi i min relativi di una funzione. Gli si spiega che i punti candidati (o, anche, indiziati, secondo una terminologia credo piuttosto diffusa) sono quelli che appartengono a una ristretta categoria. Questa ristretta categoria comprende i punti critici e però anche altra paccottiglia. Ad esempio, punti sulla frontiera (se c'è...), o punti dove la funzione non è parzialmente derivabile.
@ FP: Ed io che credevo che i "punti candidati" fossero quelli da votare per stabilire chi governa in una regione (di $RR^N$, ovviamente!)... 
E comunque credo che siano i cugini dei "punti canditi", che si trovano come decorazione delle cassate dette dagli studenti impreparati agli esami.
E comunque credo che siano i cugini dei "punti canditi", che si trovano come decorazione delle cassate dette dagli studenti impreparati agli esami.
"Fioravante Patrone":
[quote="JackedTux"]
...
Comunque punti candidati o punti critici sono sinonimi quindi?
Mi riferisco a funzioni reali di più variabili reali. Credo sia questo il contesto in cui poni la tua domanda.
No, non sono sinonimi, per me. Ma vorrei osservare come l'uso di un termine o di un altro è più una questione di ambiente.
Credo che sia sufficientemente universale definire un punto critico come un punto in cui si annullano le derivate parziali. Non so se qualcuno ci aggiunge qualche altra condizione. Direi di no, ma di matematici al mondo ce ne sono tanti (per es: quanti si "laureano" in matematica ogni anno?).
La terminologia "punti candidati" ha a mio parere un habitat peculiare: le lezioni di analisi matematica, e soprattutto gli esercizi. Si vuole (ad esempio) che lo studente trovi i min relativi di una funzione. Gli si spiega che i punti candidati (o, anche, indiziati, secondo una terminologia credo piuttosto diffusa) sono quelli che appartengono a una ristretta categoria. Questa ristretta categoria comprende i punti critici e però anche altra paccottiglia. Ad esempio, punti sulla frontiera (se c'è...), o punti dove la funzione non è parzialmente derivabile.[/quote]
Very thorough!
Grazie!"gugo82":
@ FP: Ed io che credevo che i "punti candidati" fossero quelli da votare per stabilire chi governa in una regione (di $ RR^N $, ovviamente!)...
E comunque credo che siano i cugini dei "punti canditi", che si trovano come decorazione delle cassate dette dagli studenti impreparati agli esami.
"JackedTux":
Probabilmente non esiste manco una funzione con infiniti punti di sella in una direzione fissata l'altra. (?)
Non mettere limiti alla divina provvidenza...
Per esempio $f(x,y):=\sin(x)+y^2$ nei punti $(\frac{\pi}{2}+2k\pi,0)$
"ViciousGoblin":
[quote="JackedTux"]
Probabilmente non esiste manco una funzione con infiniti punti di sella in una direzione fissata l'altra. (?)
Non mettere limiti alla divina provvidenza...
Per esempio $f(x,y):=\sin(x)+y^2$ nei punti $(\frac{\pi}{2}+2k\pi,0)$[/quote]
Successivamente al post, ho pensato:
Ma figurati se nell'infinità delle funzioni possibili non ne esiste qualcuna, magari stranissima con un sacco di termini..
Sta a vedere che qualcuno prontamente mi smentirà..
E infatti! E non è manco il mostro di funzione che immaginavo
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