Derivata di una serie trigonometrica
Premesso il teorema sulla derivabilità termine a termine delle serie di funzioni:
Da cui si deduce che:
1.
<< dire che una serie di funzioni è derivabile termine a termine significa:
- non solo dire che: $[sum f_n(x)]'=sum f_n'(x)$
- ma anche che: la somma della serie: f(x) è derivabile nell'intervallo I (in cui sono definite le fn(x))
e
che: la derivata prima della somma: $f'(x)$ è proprio la somma della serie delle derivate >>
2.
<< una serie di funzioni è derivabile termine a termine quando:
nell'ipotesi per cui i termini della serie: $f_n(x)$ sono delle funzioni derivabili,
valgono le due condizioni per cui:
1) $sum f_n(x)$ converge puntualmente
2) $sum f_n'(x)$ converge totalmente >>
Teorema della convergenza totale delle serie trigonometriche:
Fine premessa
Domanda1: mi confermate che:
<< Data una serie trigonometrica:
$a_0+sum (a_k cos(kx)+b_ksin(kx))$
, questa serie è derivabile termine a termine se:
1. $a_k->0$ , $b_k->0$
2. $sum |a_k|<+oo $ , $sum|b_k|<+oo $
3. $sum |a'_k|<+oo $ , $sum|b'_k|<+oo $
>>
Questo perché:
- la 1. e la 2. , per il teorema sulla convergenza totale delle serie trigonometriche, ci assicurano che:
$sum f_n(x)$ converge totalmente (e quindi a maggior ragione puntualmente)
- la 1 e la 3 , considerato che la derivata di una serie trigonometrica è ancora una serie trigonometrica, ci assicurano che:
$sum f'_n(x)$ converge totalmente
Domanda2: il testo sottolinea che in realtà l'ipotesi 2 è già contenuta nella 3, a patto di riscriverla come:
$sum |ka_k|<+oo$ , sum $|kb_k|
Da cui si deduce che:
1.
<< dire che una serie di funzioni è derivabile termine a termine significa:
- non solo dire che: $[sum f_n(x)]'=sum f_n'(x)$
- ma anche che: la somma della serie: f(x) è derivabile nell'intervallo I (in cui sono definite le fn(x))
e
che: la derivata prima della somma: $f'(x)$ è proprio la somma della serie delle derivate >>
2.
<< una serie di funzioni è derivabile termine a termine quando:
nell'ipotesi per cui i termini della serie: $f_n(x)$ sono delle funzioni derivabili,
valgono le due condizioni per cui:
1) $sum f_n(x)$ converge puntualmente
2) $sum f_n'(x)$ converge totalmente >>
Teorema della convergenza totale delle serie trigonometriche:
Fine premessa
Domanda1: mi confermate che:
<< Data una serie trigonometrica:
$a_0+sum (a_k cos(kx)+b_ksin(kx))$
, questa serie è derivabile termine a termine se:
1. $a_k->0$ , $b_k->0$
2. $sum |a_k|<+oo $ , $sum|b_k|<+oo $
3. $sum |a'_k|<+oo $ , $sum|b'_k|<+oo $
>>
Questo perché:
- la 1. e la 2. , per il teorema sulla convergenza totale delle serie trigonometriche, ci assicurano che:
$sum f_n(x)$ converge totalmente (e quindi a maggior ragione puntualmente)
- la 1 e la 3 , considerato che la derivata di una serie trigonometrica è ancora una serie trigonometrica, ci assicurano che:
$sum f'_n(x)$ converge totalmente
Domanda2: il testo sottolinea che in realtà l'ipotesi 2 è già contenuta nella 3, a patto di riscriverla come:
$sum |ka_k|<+oo$ , sum $|kb_k|
Risposte
Ciao CallistoBello,
Perché? Beh, a quest'ora non ho una gran voglia di fare dimostrazioni, ma diciamo che derivando la serie che hai citato si ottiene la serie seguente:
$\sum_{k = 1}^{+\infty} [- k a_k sin(kx) + k b_k cos(kx)] $
Quest'ultima non è altro che un'altra serie trigonometrica: per rendersene conto basta porre $a'_k := k b_k $ e $b'_k := - k a_k $
Se $\sum |a'_k| = \sum |k b_k| $ converge, significa che $|k b_k|$ è del tipo $1/k^{1 + \alpha}$ con $\alpha > 0 $ e questo implica che $|b_k| $ è del tipo $1/k^{2 + \alpha}$ e dunque $\sum |b_k| $ è certamente convergente. Per l'altra serie il ragionamento è analogo.
Perché? Beh, a quest'ora non ho una gran voglia di fare dimostrazioni, ma diciamo che derivando la serie che hai citato si ottiene la serie seguente:
$\sum_{k = 1}^{+\infty} [- k a_k sin(kx) + k b_k cos(kx)] $
Quest'ultima non è altro che un'altra serie trigonometrica: per rendersene conto basta porre $a'_k := k b_k $ e $b'_k := - k a_k $
Se $\sum |a'_k| = \sum |k b_k| $ converge, significa che $|k b_k|$ è del tipo $1/k^{1 + \alpha}$ con $\alpha > 0 $ e questo implica che $|b_k| $ è del tipo $1/k^{2 + \alpha}$ e dunque $\sum |b_k| $ è certamente convergente. Per l'altra serie il ragionamento è analogo.
In pratica:
possiamo pensare a $|kb_k|$ come $1/k^(1+alpha)$ e $|bk|$ come $1/k^(2+alpha)$
perché sia $b'_k$ che $b_k$ devono essere delle successioni infinitesime
e soprattutto $b'_k$ deve tendere a zero più lentamente di $b_k$, quindi dobbiamo avere che:
$|b'_k| >= |b_k|$
e noi abbiamo che:
$1/k^(1+alpha) >= 1/k^(2+alpha)$
es. per $k=3$ ed $alpha=1$ si ha : $0.11 >0.03$
Per il criterio del confronto delle serie numeriche, si ha che:
Siccome
1. $|b_k|<=|b'_k|$
2. $sum |b'_k|$ converge
allora
$sum|b_k|$ converge
Giusto?
Per quanto riguarda questo teorema:
bisognerebbe aggiungere l'ipotesi per cui $a'_k->0$ e $b'_k->0$
oppure
ci basta l'ipotesi 1. ?
possiamo pensare a $|kb_k|$ come $1/k^(1+alpha)$ e $|bk|$ come $1/k^(2+alpha)$
perché sia $b'_k$ che $b_k$ devono essere delle successioni infinitesime
e soprattutto $b'_k$ deve tendere a zero più lentamente di $b_k$, quindi dobbiamo avere che:
$|b'_k| >= |b_k|$
e noi abbiamo che:
$1/k^(1+alpha) >= 1/k^(2+alpha)$
es. per $k=3$ ed $alpha=1$ si ha : $0.11 >0.03$
Per il criterio del confronto delle serie numeriche, si ha che:
Siccome
1. $|b_k|<=|b'_k|$
2. $sum |b'_k|$ converge
allora
$sum|b_k|$ converge
Giusto?
"CallistoBello":
Domanda1: mi confermate che:
<< Data una serie trigonometrica:
a0+∑(akcos(kx)+bksin(kx))
, questa serie è derivabile termine a termine se:
1. ak→0 , bk→0
2. ∑|ak|<+∞ , ∑|bk|<+∞
3. ∑|a'k|<+∞ , ∑|b'k|<+∞
>>
Per quanto riguarda questo teorema:
bisognerebbe aggiungere l'ipotesi per cui $a'_k->0$ e $b'_k->0$
oppure
ci basta l'ipotesi 1. ?
In realtà già la 1 è inutile... Perché?
"gugo82":
In realtà già la 1 è inutile... Perché?
Per assicurarmi la convergenza totale della serie trigonometrica .
Se non valesse quell'ipotesi potrei trovarmi nel caso in cui: $a_k$ e $b_k$ non sono infinitesime , caso in cui la serie trigonometrica certamente non converge (viene meno la condizione necessaria per la convergenza).
Inoltre , facendo un po' di esercizi, ho notato che nelle soluzioni , il testo utilizza
la convergenza totale della serie trigonometrica come prerequisito per la derivabilità termine a termine della serie , nel senso che:
- se non c'è --> posso già concludere che la serie non è derivabile termine a termine
- se c'è--> bisogna andare a verificare la convergenza totale della serie derivata
( e quindi verificare che: $a'_k$ e $b'_k$ siano infinitesime e che le serie dei moduli siano finite)
Questo mi porta a riassumere la derivabilità termine a termine di una serie trigonometrica nella verifica di due condizioni:
1. convergenza totale della serie trigonometrica
2. convergenza totale della serie trigonometrica derivata
"CallistoBello":
[quote="gugo82"]In realtà già la 1 è inutile... Perché?
Per assicurarmi la convergenza totale della serie trigonometrica .
Se non valesse quell'ipotesi potrei trovarmi nel caso in cui: $a_k$ e $b_k$ non sono infinitesime , caso in cui la serie trigonometrica certamente non converge (viene meno la condizione necessaria per la convergenza).[/quote]
Scusa, ma se la 2 chiede che $\sum |a_k|, sum |b_k| < +oo$...
Ho capito cosa intendi.
- La richiesta che le serie dei moduli dei coefficienti della serie trigonometrica siano convergenti,
già ci assicura che $a_k->0$ e $b_k->0$ , perché se non fosse così quella serie non potrebbe mai essere convergente.
Analogamente
- La richiesta che le serie dei moduli dei coefficienti della serie trigonometrica derivata siano convergenti,
ci assicura che $a'_k->0$ e $b'_k->0$
In pratica: se facciamo l'ipotesi 2 , l'ipotesi 1 diventa ridondante.
- La richiesta che le serie dei moduli dei coefficienti della serie trigonometrica siano convergenti,
già ci assicura che $a_k->0$ e $b_k->0$ , perché se non fosse così quella serie non potrebbe mai essere convergente.
Analogamente
- La richiesta che le serie dei moduli dei coefficienti della serie trigonometrica derivata siano convergenti,
ci assicura che $a'_k->0$ e $b'_k->0$
In pratica: se facciamo l'ipotesi 2 , l'ipotesi 1 diventa ridondante.
Sì.
"CallistoBello":
Inoltre , facendo un po' di esercizi, ho notato che nelle soluzioni , il testo utilizza
la convergenza totale della serie trigonometrica come prerequisito per la derivabilità termine a termine della serie , nel senso che:
- se non c'è --> posso già concludere che la serie non è derivabile termine a termine
- se c'è--> bisogna andare a verificare la convergenza totale della serie derivata
( e quindi verificare che: $a'_k$ e $b'_k$ siano infinitesime e che le serie dei moduli siano finite)
Mi sono reso conto che questo discorso è sbagliato.
Considerato che:
<
e che:
<< se una funzione non è continua automaticamente non è manco derivabile >>
L'assenza di convergenza puntuale
non è che "ci assicura" che la somma f(x) è una funzione non continua e quindi non derivabile
ma suggerisce che
"non ci possiamo pronunciare" sulla continuità della somma .
PROBLEMA:
Ora non riesco a capire perché il libro dice che automaticamente non ci possiamo pronunciare
nemmeno sulla derivabilità termine a termine della serie.
Se quella serie trigonometrica la vediamo come una generica serie di funzioni,
allora potrebbe anche bastare la convergenza puntuale della serie di partenza
per garantirmi la derivabilità termine a termine (in caso di convergenza totale della serie derivata)
[vedasi teorema sulla derivabilità termine a termine delle serie di funzioni , spoiler, prima pagina]
L'unica spiegazione che riesco a darmi è che:
siccome siamo nel caso particolare di una serie trigonometrica,
per ottenere la convergenza totale della serie trigonometrica derivata
bisogna per forza passare per la convergenza totale della serie di partenza.
Questo perché la serie trigonometrica derivata coinvolge comunque i coefficienti della serie di partenza
e come dimostrato da @pilloeffe
<< se |a_k| e |b_k| tendono a 0 ad una velocità tale da permettere non solo alle serie di |a'_k| e |b'_k| di convergere , ma anche alle serie di |a_k| e |b_k| di convergere >>
Sintesi DOMANDA:
è vero che
- per una serie trigonometrica: se non ho convergenza totale della serie trigonometrica, sicuramente non ne avrò nemmeno per la serie derivata
- per una generica serie di funzioni: se non ho convergenza totale della serie di funzioni, questo non influenza in alcun modo la possibilità per la serie derivata di convergere totalmente
?
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