Dubbi sul Teorema di Cauchy (degli incrementi finiti)

[Palliit]

Ciao a tutti, da pochi giorni le classi quinte di molti licei scientifici hanno affrontato la simulazione di seconda prova dell'esame di Stato proposta da Zanichelli, ed un quesito riguardava l'applicabilità del teorema in oggetto su una coppia di funzioni in un intervallo assegnato. E qui mi sono venuti dei dubbi: ho fatto un po' di ricerche in rete e ho trovato molto spesso la tesi espressa nella forma:

$f'(xi)*[g(b)-g(a)]=g'(xi)*[f(b)-f(a)]$,

rispetto alla quale l'ipotesi che una delle due funzioni sia a derivata non nulla internamente all'intervallo $]a, b[$ non è rilevante e pertanto non viene nemmeno citata, mentre è ovviamente cruciale se la conclusione è scritta come:

$(f'(xi))/(g'(xi))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))$.

Peraltro chi ha scritto la soluzione ufficiale (e credo anche tutti i testi liceali) propende per quest'ultima versione, tant'è che giudica inapplicabile il teorema perchè entrambe le funzioni hanno la derivata che si annulla nell'intervallo, ma a questo punto diventa dubbia la questione.

Qual è la versione da considerare definitiva?

Giusto per completezza, le funzioni del quesito sono $f(x)=5x-2x^2$ e $g(x)=5/2x^2-x^3$ , l'intervallo è $[0, 2]$ .

[otta96]

La prima è vera e implica la seconda, quindi dal punto di vista logico è quella definitiva, dal punto di vista didattico lascio spazio a chi ne sa di più.

[pilloeffe]

Ciao Palliit,

Quoto otta96, anche per me è definitiva la prima: si può dare un'occhiata ad esempio qui.

[gugo82]

La versione col rapporto, come sempre accade con le formule che coinvolgono i rapporti (vedi equazione della retta per due punti vs equazione simmetrica o condizioni di proporzionalità tra i coefficienti nei sistemi lineari $2 xx 2$ vs condizioni di Cramer), è meno generale.

[Palliit]

Grazie.