Convergenza serie
Ciao, ho questa serie da studiare
$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^5}{e^{sqrt(n)}}$ e ho provato col criterio del rapporto non cocnludendo nulla. Dunque l'unico modo è usare il teorema del confronto ma non so come maggiorare o minorare $e^{sqrtn}$.
Avete suggerimenti?
$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^5}{e^{sqrt(n)}}$ e ho provato col criterio del rapporto non cocnludendo nulla. Dunque l'unico modo è usare il teorema del confronto ma non so come maggiorare o minorare $e^{sqrtn}$.
Avete suggerimenti?
Risposte
Prova con $e^(sqrt(n)) ge n^7$.
Ma disegnando i grafici mi viene che $ e^sqrtn<= n^7 $ definitivamente
@Albi: Hai sbagliato qualcosa, visto che $\frac{e^{\sqrt{n}}}{n^7}\to +\infty$ per $n \to +\infty$. Anche intuitivamente, stai equivalentemente confrontando un esponenziale avente base $>1$ con una potenza entrambi nella stessa variabile. Non può dominare la potenza all'infinito.
Infatti anche secondo me dovrebbe essere così, ma perché quando disegno i grafici mi viene questo?
"Albi":
Ma disegnando i grafici mi viene che $ e^sqrtn<= n^7 $ definitivamente
Fino a quale valore di $n$?
"Albi":
Infatti anche secondo me dovrebbe essere così, ma perché quando disegno i grafici mi viene questo?
E grazie al cavolo... Definitivamente mica vuol dire "per $n ~~5$"?
Cosa succede per $n$ "grande"?
Potrebbe essere un n molto molto elevato e non riesco a vederlo sul grafico?
Ma se lo vuoi vedere dal grafico devi scegliere un intervallo molto più grande, tipo $[0,1000]$. Tu hai scelto $[0,5]$.
Anzi, fai $[0,5000]$
@Albi: I grafici non sono dimostrazioni, purtroppo.
"Mephlip":
@Albi: I grafici non sono dimostrazioni, purtroppo.
Eh... Ingegneri.
Questo spiega anche perché mi dà fastidio quando i testi delle superiori usano grafici a capocchia per dedurre informazioni.
@Albi: La disuguaglianza è vera per $x > 3190$ più o meno... Come puoi anche solo immaginare che sia possibile vedere graficamente una cosa del genere in un grafico su GeoGebra? Soprattutto se diagrammi le funzioni per $0
Per capire un po' cosa stai facendo, vedila così: è un po' come se tu, duecento anni dopo l'invenzione del cannocchiale (i.e., il Calcolo Infinitesimale), ti ostinassi a voler svolgere osservazioni astronomiche (i.e., stime di grandezza) ad occhio nudo (i.e., usando un grafico "micragnoso").
Ciao Albi,
A parte che ovviamente si ha $\sum_{n = 0}^{+\infty} n^5/e^{\sqrt n} = \sum_{n = 1}^{+\infty} n^5/e^{\sqrt n}$ e quindi anch'io ti avrei suggerito quanto ti ha scritto Martino per il confronto, non è vero che l'unico modo è usare il teorema del confronto, infatti questo funziona:
$\lim_{n \to +\infty} log_n (n^5/e^{\sqrt n}) = - \infty $
Pertanto la serie proposta converge.
"Albi":
$\sum_{n = 0}^{+\infty} n^5/e^{\sqrt n}$ e ho provato col criterio del rapporto non concludendo nulla. Dunque l'unico modo è usare il teorema del confronto ma non so come maggiorare o minorare $e^{\sqrt n}$.
A parte che ovviamente si ha $\sum_{n = 0}^{+\infty} n^5/e^{\sqrt n} = \sum_{n = 1}^{+\infty} n^5/e^{\sqrt n}$ e quindi anch'io ti avrei suggerito quanto ti ha scritto Martino per il confronto, non è vero che l'unico modo è usare il teorema del confronto, infatti questo funziona:
$\lim_{n \to +\infty} log_n (n^5/e^{\sqrt n}) = - \infty $
Pertanto la serie proposta converge.
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