Notazione per cambio variabile sugli estremi di integrazione
Salve a tutti,
ho una domandina veloce sulla corretta notazione da usare.
Ho risolto il seguente integrale: $ int_(z_0)^(z) dz/(T-bz) $ dove $ T $ e $ b $ sono costanti, con il seguente cambio di variabile $ u=T-bz $.
Mi chiedo, se è possibile lasciare gli estremi originali cioè $ int_(z_0)^(z) (du)/(-bu) $ visto che poi dalla $ -1/b lnu\|_(z_0)^(z) $
ritorno alla variabile originale $ -1/b ln(T-bz)\|_(z_0)^(z) $ .
Oppure, devo cambiare anche gli estremi di integrazione, e in quel caso basta scrivere: $ int_(u_0)^(u) (du)/(-bu) $
o devo fare altro?
Grazie del vostro tempo.
ho una domandina veloce sulla corretta notazione da usare.
Ho risolto il seguente integrale: $ int_(z_0)^(z) dz/(T-bz) $ dove $ T $ e $ b $ sono costanti, con il seguente cambio di variabile $ u=T-bz $.
Mi chiedo, se è possibile lasciare gli estremi originali cioè $ int_(z_0)^(z) (du)/(-bu) $ visto che poi dalla $ -1/b lnu\|_(z_0)^(z) $
ritorno alla variabile originale $ -1/b ln(T-bz)\|_(z_0)^(z) $ .
Oppure, devo cambiare anche gli estremi di integrazione, e in quel caso basta scrivere: $ int_(u_0)^(u) (du)/(-bu) $
o devo fare altro?
Grazie del vostro tempo.
Risposte
Ciao cla29,
Sì. In questi casi personalmente preferisco risolvere l'integrale indefinito, così evito di dover cambiare gli estremi di integrazione, faccio tutte le sostituzioni che mi servono, poi ritorno alla variabile iniziale ed inserisco gli estremi che ho. Questo consente di risolvere facilmente lo stesso integrale anche qualora dovessero cambiare gli estremi di integrazione.
Quindi, in questo caso (occhio che hai scritto due volte $\text{d}z$):
$ \int 1/(T-bz) \text{d}z = -1/b ln|T - b z| + c $
Dunque si ha:
$ \int_{z_0}^z 1/(T-bs) \text{d}s = -1/b [ln|T - b s|]_{z_0}^z $
"cla29":
[...]devo cambiare anche gli estremi di integrazione [...]
Sì. In questi casi personalmente preferisco risolvere l'integrale indefinito, così evito di dover cambiare gli estremi di integrazione, faccio tutte le sostituzioni che mi servono, poi ritorno alla variabile iniziale ed inserisco gli estremi che ho. Questo consente di risolvere facilmente lo stesso integrale anche qualora dovessero cambiare gli estremi di integrazione.
Quindi, in questo caso (occhio che hai scritto due volte $\text{d}z$):
$ \int 1/(T-bz) \text{d}z = -1/b ln|T - b z| + c $
Dunque si ha:
$ \int_{z_0}^z 1/(T-bs) \text{d}s = -1/b [ln|T - b s|]_{z_0}^z $
Grazie della risposta, si, in effetti passare all'integrale indefinito mi eviterebbe in futuro eventuali errori.
Grazie ancora, ora modifico subito quel dz in più.
Grazie ancora, ora modifico subito quel dz in più.
Comunque, sì, si devono cambiare anche gli estremi d'integrazione e, no, non è difficile farlo quando la sostituzione è "semplice".
Nel tuo caso (a parte il fatto che preferisco usare lettere differenti per la variabile d'integrazione e quella nell'estremo libero della funzione integrale, come farò qui di seguito, solo per non incasinarmi) hai:
$int_(z_0)^z 1/(T - b zeta) "d" zeta \stackrel{tau = T - b zeta}{=} int_(T - bz_0)^(T - bz) (-1)/(b tau) "d" tau = -1/b [log|tau|]_(T - b z_0)^(T - b z) = 1/b log |(T-bz_0)/(T - bz)|$
e puoi osservare che per ricavare i nuovi estremi d'integrazione basta sostituire quelli originari nel cambiamento di variabile.
Nel tuo caso (a parte il fatto che preferisco usare lettere differenti per la variabile d'integrazione e quella nell'estremo libero della funzione integrale, come farò qui di seguito, solo per non incasinarmi) hai:
$int_(z_0)^z 1/(T - b zeta) "d" zeta \stackrel{tau = T - b zeta}{=} int_(T - bz_0)^(T - bz) (-1)/(b tau) "d" tau = -1/b [log|tau|]_(T - b z_0)^(T - b z) = 1/b log |(T-bz_0)/(T - bz)|$
e puoi osservare che per ricavare i nuovi estremi d'integrazione basta sostituire quelli originari nel cambiamento di variabile.
ti ringrazio molto, immaginavo che c'era un modo elegante e impeccabile per fare il cambio di variabile, ma non riuscivo a trovarlo da solo.
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