Integrale generalizzato
Buongiorno, ho un problema con questo integrale improprio:
$\int_{\pi/2}^{+\infty}\frac{sinx}{x^\alpha}dx$
Non ho avuto problemi nella discussione della convergenza se non nel caso di $\alpha<0$.
Viene proposta questa soluzione ($\beta=-\alpha$) :
$\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}x^{\beta}sinxdx >= (2k\pi)^\beta \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} sinx dx = ... \rightarrow +\infty$
$\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}x^{\beta}sinxdx <= ((2k-1)\pi)^\beta \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} sinx dx = ... \rightarrow -\infty$
Non riesco a capire quelle minorazioni e maggiorazioni, non capisco da che teoremi sull'integrazione vengano. Ho provato a vedere su svariati libri ma tirare fuori dall'integrale una funzione che ne moltiplica un'altra non lo avevo mai visto fare. Grazie per le risposte.
$\int_{\pi/2}^{+\infty}\frac{sinx}{x^\alpha}dx$
Non ho avuto problemi nella discussione della convergenza se non nel caso di $\alpha<0$.
Viene proposta questa soluzione ($\beta=-\alpha$) :
$\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}x^{\beta}sinxdx >= (2k\pi)^\beta \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} sinx dx = ... \rightarrow +\infty$
$\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}x^{\beta}sinxdx <= ((2k-1)\pi)^\beta \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} sinx dx = ... \rightarrow -\infty$
Non riesco a capire quelle minorazioni e maggiorazioni, non capisco da che teoremi sull'integrazione vengano. Ho provato a vedere su svariati libri ma tirare fuori dall'integrale una funzione che ne moltiplica un'altra non lo avevo mai visto fare. Grazie per le risposte.
Risposte
Non ho molto tempo per scrivere una risposta articolata, ma l'idea è che fissato $t$ la funzione $u^t$ è monotòna crescente se e solo se $u>1$. Quindi, notando che:
$$\int_{\pi/2}^{+\infty} x^{\beta} \sin x \text{d}x=\int_{\pi/2}^{2\pi} x^{\beta} \sin x \text{d}x+\lim_{n\to+\infty} \sum_{l=2}^n \int_{l\pi}^{(l+1)\pi} x^{\beta} \sin x \text{d}x$$
La convergenza dipende quindi solo dal limite della sommatoria degli integrali.
Distinguendo $l$ pari ed $l$ dispari, usando la monotonia di $u^t$ e notando che il seno mantiene segno costante in base alla parità o alla disparità di $l$, si ottengono quelle disuguaglianze. Ad esempio, se $l \ge 2$ è pari esiste $k \in \mathbb{N} \setminus\{0,1\}$ tale che $l=2k$ e allora, per monotonia di $u^t$, risulta $x^\beta \ge (2k\pi)^\beta$; inoltre, $\sin x \ge 0$ in $[2k\pi,(2k+1)\pi]$ per ogni $k\in \mathbb{N}\setminus\{0,1\}$, perciò $x^\beta \sin x \ge (2k\pi)^\beta \sin x$. Concludi poi notando che l'integrale preserva le disuguaglianze se le funzioni ambo i membri delle disuguaglianze sono integrabili. Puoi fare un ragionamento simile sui dispari.
$$\int_{\pi/2}^{+\infty} x^{\beta} \sin x \text{d}x=\int_{\pi/2}^{2\pi} x^{\beta} \sin x \text{d}x+\lim_{n\to+\infty} \sum_{l=2}^n \int_{l\pi}^{(l+1)\pi} x^{\beta} \sin x \text{d}x$$
La convergenza dipende quindi solo dal limite della sommatoria degli integrali.
Distinguendo $l$ pari ed $l$ dispari, usando la monotonia di $u^t$ e notando che il seno mantiene segno costante in base alla parità o alla disparità di $l$, si ottengono quelle disuguaglianze. Ad esempio, se $l \ge 2$ è pari esiste $k \in \mathbb{N} \setminus\{0,1\}$ tale che $l=2k$ e allora, per monotonia di $u^t$, risulta $x^\beta \ge (2k\pi)^\beta$; inoltre, $\sin x \ge 0$ in $[2k\pi,(2k+1)\pi]$ per ogni $k\in \mathbb{N}\setminus\{0,1\}$, perciò $x^\beta \sin x \ge (2k\pi)^\beta \sin x$. Concludi poi notando che l'integrale preserva le disuguaglianze se le funzioni ambo i membri delle disuguaglianze sono integrabili. Puoi fare un ragionamento simile sui dispari.
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