Insieme in $QQ$ non ammette estremo superiore.

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compa90
compa90
16 mag 2023, 12:56
Buongiorno, vorrei chiedervi un parere, devo verificare che il seguente insieme

$A={x in QQ\ : \ 0
non ha estremo superiore in $QQ$. Per dimostrarlo, ho provato, ma ho dubbi:

Suppongo per assurdo che esiste $L:=mbox{supA}$, quindi, $L$ deve essere il minimo dei maggioranti, quindi, deve essere un maggiorante, cioè deve soddisfare $L ge x , \ forall x in A$, pertanto se considero un generico $x in A$ deve soddisfare tre condizioni, che sono
[tex]\begin{cases}
x^2<2 \\
x>0
\\
x \le L
\end{cases}[/tex]

e cioè
[tex]\begin{cases}
x<\sqrt{2} \\
x>0
\\
x \le L
\end{cases}[/tex]

per cui $L\ge sqrt{2}$.
Infine, deve essere il minimo dei maggioranti, quindi, prendo come candidato $L=sqrt{2}$, questo è assurdo poichè non esiste nessun numero razionale il cui quadrato è due.
Si mantiene come ragionamento, oppure cade ? :-D
Risposte
otta96
otta96
16 mag 2023, 13:33
Come ottieni che $L>=sqrt2$?
compa90
compa90
16 mag 2023, 14:04
Perchè, se $x in A$ allora $x^2<2 => sqrt{x^2} |x| x Quindi, non può essere minore di $sqrt{2}$ per definizione di maggiorante, per cui rimane $L ge sqrt{2}.$
otta96
otta96
16 mag 2023, 20:21
Si ok.
compa90
compa90
16 mag 2023, 20:36
Ok grazie ☺️
gugo82
gugo82
17 mag 2023, 12:38
Posso dire una cosa?
La correttezza o meno del ragionamento dipende da dove è ambientato il problema, cioè da se stai considerando $QQ sub RR$ o se stai considerando $QQ$ come insieme numerico a sé con la sua sola struttura algebrica.
Nel primo caso il ragionamento regge (potrebbe esser scritto meglio, ma tutto sommato va bene), nel secondo non è che non regge... Ma proprio non si alza in piedi! :lol: (Infatti, chi è $sqrt(2)$?)

Dunque manca un'informazione decisiva per darti una risposta: dove vive il problema?
compa90
compa90
17 mag 2023, 15:03
Ciao gugo82, il problema vive in $QQ$.
Questa osservazione l'ho fatta pure io, cioè lo posso considerare il numero $sqrt{2}$?
gugo82
gugo82
17 mag 2023, 18:09
No, allora non puoi.
$sqrt(2)$ non sai nemmeno chi è in $QQ$.

Per capire come puoi fare, potresti guardare qui, paragrafo 3.
compa90
compa90
22 mag 2023, 06:30
Buongiorno gugo82, grazie ho letto, ora è tutto chiaro. Comunque le dispense sono chiare a differenza di tanti altri libri.
gugo82
gugo82
23 mag 2023, 11:20
"compa90":
Buongiorno gugo82, grazie ho letto, ora è tutto chiaro.

Prego.

"compa90":
Comunque le dispense sono chiare a differenza di tanti altri libri.

Beh, certo, le avevo scritte per gli ingegneri… :lol:

Se vuoi, ce ne sono altre, sia di teoria sia di esercizi.
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