Serie numerica
Salve sto avendo problemi nella risoluzione di questa serie:
$ sum_(n =1 \) ((n-3)/(n+1))^(n^2) $
Ho provato a usare il criterio del rapporto ma facendo i calcoli mi trovo che la serie diverge positivamente ma il libro porta che converge, probabilmente dovrei ricavarmi un limite notevole o cose del genere. Se qualcuno riesce a spiegarmi il procedimento ne sarei grato.
Grazie in anticipo.
$ sum_(n =1 \) ((n-3)/(n+1))^(n^2) $
Ho provato a usare il criterio del rapporto ma facendo i calcoli mi trovo che la serie diverge positivamente ma il libro porta che converge, probabilmente dovrei ricavarmi un limite notevole o cose del genere. Se qualcuno riesce a spiegarmi il procedimento ne sarei grato.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Bho76,
Beh, tolti i primi due termini (il terzo è nullo), la serie proposta è a termini positivi:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((n-3)/(n+1))^(n^2) = - 1 + (-1/3)^4 + \sum_{n = 4}^{+\infty} ((n-3)/(n+1))^(n^2) = - 1 + 1/81 + \sum_{n = 4}^{+\infty} ((n + 1 - 4)/(n+1))^(n^2) = $
$ = - 1 + 1/81 + \sum_{n = 4}^{+\infty} (1 - 4/(n+1))^(n^2) $
Per l'ultima serie scritta applicando il più conveniente criterio della radice si trova $e^{- 4} = 1/e^4 < 1 $, sicché la serie proposta è convergente (ad un numero negativo molto vicino al primo termine $- 1$).
Beh, tolti i primi due termini (il terzo è nullo), la serie proposta è a termini positivi:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((n-3)/(n+1))^(n^2) = - 1 + (-1/3)^4 + \sum_{n = 4}^{+\infty} ((n-3)/(n+1))^(n^2) = - 1 + 1/81 + \sum_{n = 4}^{+\infty} ((n + 1 - 4)/(n+1))^(n^2) = $
$ = - 1 + 1/81 + \sum_{n = 4}^{+\infty} (1 - 4/(n+1))^(n^2) $
Per l'ultima serie scritta applicando il più conveniente criterio della radice si trova $e^{- 4} = 1/e^4 < 1 $, sicché la serie proposta è convergente (ad un numero negativo molto vicino al primo termine $- 1$).
Hai provato col criterio della radice?
"pilloeffe":
Ciao Bho76,
Beh, tolti i primi due termini (il terzo è nullo), la serie proposta è a termini positivi:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} ((n-3)/(n+1))^(n^2) = - 1 + (-1/3)^4 + \sum_{n = 4}^{+\infty} ((n-3)/(n+1))^(n^2) = - 1 + 1/81 + \sum_{n = 4}^{+\infty} ((n + 1 - 4)/(n+1))^(n^2) = $
$ = - 1 + 1/81 + \sum_{n = 4}^{+\infty} (1 - 4/(n+1))^(n^2) $
Per l'ultima serie scritta applicando il più conveniente criterio della radice si trova $e^{- 4} = 1/e^4 < 1 $, sicché la serie proposta è convergente (ad un numero negativo molto vicino al primo termine $- 1$).
Scusami ma come hai fatto a trovarti quel -1+(-1/3)^4??
Basta che consideri $n = 1$ e ti viene $- 1$ e poi $n = 2 $ e ti viene $1/81$. Il terzo termine per $n = 3 $ è nullo e per $n \ge 4 $ la serie proposta è a termini positivi.
Per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI in fondo ai post, non il pulsante "CITA: infatti raramente è necessario citare tutta la risposta di colui che ti ha risposto, anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread... Comunque tranquillo, all'inizio della frequentazione del forum ci sono cascati in molti (sottoscritto incluso...
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Per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI in fondo ai post, non il pulsante "CITA: infatti raramente è necessario citare tutta la risposta di colui che ti ha risposto, anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread... Comunque tranquillo, all'inizio della frequentazione del forum ci sono cascati in molti (sottoscritto incluso...
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