Massimo limite per successioni
Buongiorno, sto studiano i concetti di massimo e minimo limite, ed in particolare la seguente proposizione
Se $lim_{n to + infty} mbox{sup}(a_n)=l in RR$ (massimo limite), allora $l=mbox{inf}(H)$, dove $H$ è la classe dei numeri definitivamente maggioranti di ${a_n}$.
Vi chiedo questo chiarimenti:
i) Ipotesi: $lim_{n to + infty} mbox{sup}(a_n) =l in RR$ (massimo limite), tesi: $l=mbox{inf}(H)$ Giusto?
ii) $H \ne emptyset$; infatti la classe limite, ossia l'insieme dei valori limite è non vuota e tra esse vi è il massimo valore limite, il quale è un maggiorante. Giusto ?
Ciao
Se $lim_{n to + infty} mbox{sup}(a_n)=l in RR$ (massimo limite), allora $l=mbox{inf}(H)$, dove $H$ è la classe dei numeri definitivamente maggioranti di ${a_n}$.
Vi chiedo questo chiarimenti:
i) Ipotesi: $lim_{n to + infty} mbox{sup}(a_n) =l in RR$ (massimo limite), tesi: $l=mbox{inf}(H)$ Giusto?
ii) $H \ne emptyset$; infatti la classe limite, ossia l'insieme dei valori limite è non vuota e tra esse vi è il massimo valore limite, il quale è un maggiorante. Giusto ?
Ciao
Risposte
La i) si, la ii) non è detto che sia non vuoto, non lo è se la successione è illimitata superiormente.
Ciao, scusami, forse non sono stato esplicito, la successione è una successione a valori in $RR$, con questa condizione dovrebbe risultare corretto il ragionamento fatto da me, oppure mi sbaglio ?
No, è uguale.
Quindi, se la successione è limitata superiormente è vuoto $H$ ?
Chiaro.
Abbiamo $H={k\ : \ k ge a_n \ forall n ge m}$.
1) Se la successione ${a_n}$ è limitata superiormente, allora esiste una costante $A in RR$ tale che $A ge a_n$ per ogni $n in NN$ e in particolare quando $n ge m$. Quindi $A in H to H \ne emptyset$
2) Se la successione ${a_n}$ non è limitata superiormente, allora $+ infty in RR^{**}$ si ha $+ infty >a_n$ per ogni $n in NN$ e in particolare quando $n ge m$. Quindi $+ infty in H to H \ne emptyset$
Dov'è l'errore ?
1) Se la successione ${a_n}$ è limitata superiormente, allora esiste una costante $A in RR$ tale che $A ge a_n$ per ogni $n in NN$ e in particolare quando $n ge m$. Quindi $A in H to H \ne emptyset$
2) Se la successione ${a_n}$ non è limitata superiormente, allora $+ infty in RR^{**}$ si ha $+ infty >a_n$ per ogni $n in NN$ e in particolare quando $n ge m$. Quindi $+ infty in H to H \ne emptyset$
Dov'è l'errore ?
Beh, che $+\infty$ non è un numero, se poi lo vuoi considerare come possibile elemento di $H$ va bene.
Quindi, il punto ii) è corretto ?
Conosci analisi matematica uni di Pagàni-Salsa?
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