Serie di funzione
Ciao a tutti, io sto svolgendo questo esercizio.
Determinare gli insiemi di convergenza puntuale, assoluta e totale della serie di funzioni $\sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$
(b) Scrivere la serie derivata della serie del punto (a), cioè quella che si ottiene derivando termine a termine la serie $\sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$
(c) Data la funzione somma $g(x)$ trovata al punto (b), dire se questa coincide con la derivata della funzione somma $s(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$ per ogni $x \in (-2,2)$
Il punto su cui ho dubbi è il terzo.
Dopo il punto b, io giungo a dire che la serie delle derivate è $\sum_{n=0}^\infty 1/2*(x/2)^n$
La quale converge assolutamente in $(-2,2)$, ma c'è anche convergenza totale in tale intervallo?
Secondo me no perché, come da definizione data dal professore, $ \text{sup}|f'_n(x)| = 1/2$ in $(-2,2)$ la cui serie non converge. O sbaglio a cercare l'estremo superiore?
Poichè la soluzione riporta che converge anche totalmente, dunque vale il teorema di derivazione termine a termine per le serie in $(-2,2)$.
Qualcuno riesce a togliermi il dubbio?
Determinare gli insiemi di convergenza puntuale, assoluta e totale della serie di funzioni $\sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$
(b) Scrivere la serie derivata della serie del punto (a), cioè quella che si ottiene derivando termine a termine la serie $\sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$
(c) Data la funzione somma $g(x)$ trovata al punto (b), dire se questa coincide con la derivata della funzione somma $s(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$ per ogni $x \in (-2,2)$
Il punto su cui ho dubbi è il terzo.
Dopo il punto b, io giungo a dire che la serie delle derivate è $\sum_{n=0}^\infty 1/2*(x/2)^n$
La quale converge assolutamente in $(-2,2)$, ma c'è anche convergenza totale in tale intervallo?
Secondo me no perché, come da definizione data dal professore, $ \text{sup}|f'_n(x)| = 1/2$ in $(-2,2)$ la cui serie non converge. O sbaglio a cercare l'estremo superiore?
Poichè la soluzione riporta che converge anche totalmente, dunque vale il teorema di derivazione termine a termine per le serie in $(-2,2)$.
Qualcuno riesce a togliermi il dubbio?
Risposte
Ciao Albi,
Potresti dare un'occhiata a questo thread.
Comunque per il punto (b) si trova $g(x) = 1/(2 - x) $ che in effetti è la derivata della funzione somma $s(x)$:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n (x/2)^n = - ln(1 - x/2) = s(x) $
per $- 2 \le x < 2 $
Potresti dare un'occhiata a questo thread.
Comunque per il punto (b) si trova $g(x) = 1/(2 - x) $ che in effetti è la derivata della funzione somma $s(x)$:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n (x/2)^n = - ln(1 - x/2) = s(x) $
per $- 2 \le x < 2 $
[xdom="Mephlip"]Albi, cortesemente, modificheresti il messaggio inserendo il testo con le formule interne del forum? Grazie.[/xdom]
Ok, ho modificato.
Ma io volevo solo vedere se con la teorie fornita dal professore a lezione ciò era vero.
Lui ci ha enunciato il teorema di derivazione termine a termine per le serie sottolineando come la serie delle derivate dovesse convergere totalmente nell'intevallo.
Sbaglio o tale serie non converge totalmente in $(-2,2)$?
Ma io volevo solo vedere se con la teorie fornita dal professore a lezione ciò era vero.
Lui ci ha enunciato il teorema di derivazione termine a termine per le serie sottolineando come la serie delle derivate dovesse convergere totalmente nell'intevallo.
Sbaglio o tale serie non converge totalmente in $(-2,2)$?
Mi sa che non hai prestato la dovuta attenzione al link che ti ho postato, ti riscrivo i punti di interesse per le serie di potenze (s.d.p.):
[...]
3. Un semplice, ma notevolissimo teorema ti dice che una s.d.p. converge totalmente (e dunque anche uniformemente, assolutamente e puntualmente) su ogni sottointervallo compatto contenuto nell'interno del suo intervallo di convergenza;
4. Un teorema di Abel ti dice che se c'è convergenza in un estremo dell'intervallo di convergenza, allora la convergenza è uniforme (e quindi pure puntuale) anche in ogni sottointervallo compatto che ha un estremo coincidente con l'estremo dove c'è convergenza.
Visto che la serie derivata di una s.d.p. è anch'essa una s.d.p., anche la serie derivata di una s.d.p. ha un comportamento noto e descritto dai teoremi citati in precedenza. Inoltre, un importantissimo teorema ti dice che una s.d.p. e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di convergenza.
[...]
3. Un semplice, ma notevolissimo teorema ti dice che una s.d.p. converge totalmente (e dunque anche uniformemente, assolutamente e puntualmente) su ogni sottointervallo compatto contenuto nell'interno del suo intervallo di convergenza;
4. Un teorema di Abel ti dice che se c'è convergenza in un estremo dell'intervallo di convergenza, allora la convergenza è uniforme (e quindi pure puntuale) anche in ogni sottointervallo compatto che ha un estremo coincidente con l'estremo dove c'è convergenza.
Visto che la serie derivata di una s.d.p. è anch'essa una s.d.p., anche la serie derivata di una s.d.p. ha un comportamento noto e descritto dai teoremi citati in precedenza. Inoltre, un importantissimo teorema ti dice che una s.d.p. e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di convergenza.
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