Calcolo di un limite con radici n-esime
Buongiorno,
ho un dubbio sul seguente esercizio.
$\lim_{n \to \infty} \root(n)(n) * \root (n+1)(n+1) .......... * \root (2n)(2n)$
Ora, io so che:
$\lim_{n \to \infty} \root(n)(n) = \lim_{n \to \infty} e^(1/n ln(n)) = e^0 = 1$ perchè, nell'esponente, la potenza è un infinito di ordine superiore rispetto al logaritmo. Analogamente, anche le altre radici dovrebbero tendere a uno. Pertanto, considerando che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti, io direi che il limite fa 1. Eppure, sulle soluzioni del libro (Giusti) mi dice che fa + infinito, senza riportare lo svolgimento dell'esercizio.
Dove ho sbagliato?
Grazie a tutti per la pazienza
ho un dubbio sul seguente esercizio.
$\lim_{n \to \infty} \root(n)(n) * \root (n+1)(n+1) .......... * \root (2n)(2n)$
Ora, io so che:
$\lim_{n \to \infty} \root(n)(n) = \lim_{n \to \infty} e^(1/n ln(n)) = e^0 = 1$ perchè, nell'esponente, la potenza è un infinito di ordine superiore rispetto al logaritmo. Analogamente, anche le altre radici dovrebbero tendere a uno. Pertanto, considerando che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti, io direi che il limite fa 1. Eppure, sulle soluzioni del libro (Giusti) mi dice che fa + infinito, senza riportare lo svolgimento dell'esercizio.
Dove ho sbagliato?
Grazie a tutti per la pazienza
Risposte
L'errore viene dal fatto che il teorema sul prodotto dei limiti si dimostra per un un numero fissato di fattori, qui il numero di fattori tende all'infinito.
Ciao BuioPesto,
Beh, in effetti il limite proposto si può scrivere nella forma seguente:
$\lim_{n \to +\infty} exp[\sum_{j = 0}^n (ln(n + j))/(n + j)] $
e ciò che compare all'esponente è ragionevole che sia positivamente divergente quando $n \to +\infty $, anche se ora devo scappare e non ho tempo di dimostrarlo...
Beh, in effetti il limite proposto si può scrivere nella forma seguente:
$\lim_{n \to +\infty} exp[\sum_{j = 0}^n (ln(n + j))/(n + j)] $
e ciò che compare all'esponente è ragionevole che sia positivamente divergente quando $n \to +\infty $, anche se ora devo scappare e non ho tempo di dimostrarlo...
Io avevo pensato al teorema del confronto, perchè in genere quando ho un limite con n+1 termini è il metodo con cui mi trovo meglio. Però, il fatto che cambino gli indici della radice mi mette in difficoltà nella scelta della maggiorazione e minorazione.
Puoi usare delle disuguaglianze, ma comunque ti consiglio di scriverla come ha fatto pilloeffe perché, come hai correttamente osservato, le radici con radicando e indice variabili non sono facili da stimare. Dopo tale scrittura, ti rimane da osservare che, quando $j \in \{0,...,n\}$, dalla crescente monotonia del logaritmo, dalla decrescente monotonia del reciproco sui positivi ed essendo tutte le successioni coinvolte non negative, deduciamo:
$$\frac{\log(n+j)}{n+j} \ge \frac{\log(n+0)}{n+n}=\frac{\log n}{2n}$$
Perciò, sommando queste disuguaglianze per $j \in \{0,...,n\}$:
$$\sum_{j=0}^n \frac{\log(n+j)}{n+j} \ge \sum_{j=0}^n \frac{\log n}{2n}=\frac{\log n}{2n}\sum_{j=0}^n 1=\frac{\log n}{2n}(n+1)$$
$$\frac{\log(n+j)}{n+j} \ge \frac{\log(n+0)}{n+n}=\frac{\log n}{2n}$$
Perciò, sommando queste disuguaglianze per $j \in \{0,...,n\}$:
$$\sum_{j=0}^n \frac{\log(n+j)}{n+j} \ge \sum_{j=0}^n \frac{\log n}{2n}=\frac{\log n}{2n}\sum_{j=0}^n 1=\frac{\log n}{2n}(n+1)$$
Perfetto! Non avevo minimamente pensato a questo tipo di scrittura. Grazie mille ad entrambi per gli spunti! Avevo perso tanto tempo perchè, trattandosi di un esercizio del capitolo 2, ed essendo riuscito a risolvere tutti gli altri prima e dopo, pensavo che anche questo si affrontasse analogamente. Invece richiedeva un tipo di ragionamento che non mi aspettavo minimamente.
Grazie infinite ad entrambi.
Grazie infinite ad entrambi.
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