Delucidazioni teorema massimo e minimo limite (valori di aderenza)

[dattolico_007]

Ho difficoltà nel capire la dimostrazione del seguente teorema.
Sia $(a_n)_(n\inN)$ una successione di numeri reali. Poniamo $L=lim''_(n->+oo)(an)$ e $l=lim'_(n->+oo)(an)$ allora $ L$ e $l$ sono rispettivamente il più grande e il più piccolo valore di aderenza per la successione.
Procede analizzando il caso in cui $L$ è il più grande valore di aderenza per $(a_n)_(n\inN)$ considerando due casi:
1) La successione non è limitata superiormente quindi per definizione il massimo limite è $+oo$
2) La successione è limitata superiormente e distingue due ulteriori casi:
2.1) $L=-oo$ e si dimostra essere anche l'unico valore di aderenza in quanto la successione diverge negativamente.
2.2) $L\in R$. I miei dubbi sono legati a questo passaggio. Si muove così:
Supponiamo che $L\in R$. $L$ risulta valore di aderenza poiché per la caratterizzazione sul massimo limite si cha che $\forall \epsilon >0 : L-epsilon0 : a_n0: L-epsilon Poi dice: verifichiamo che se $L\in R$ allora $L$ è l'unico valore di aderenza (secondo me ho preso male gli appunti. Se penso ad una successione tipo $(-1)^n$ è immediato che i valori di aderenza siano 2 ed entrambi in R). Lo dimostra così:
Supponiamo per assurdo che $\exists y \in R$ valore di aderenza per la successione tale che $L0$ tale che $L+epsilon>alpha$. Per la caratterizzazione di massimo limite $a_nalpha$ per un numero finito di indici da cui $y$ non può essere un valore di aderenza.
Non riesco a capire il passaggio logico che c'è.
Può essere che poiché $y$ è valore di aderenza e quindi $\forall V \in I_y \forall k in N, \exists n \in N : a_n \in V$ e che se prendo un intorno di $y$ del tipo $V=[alpha,+oo)$ avrò che $a_n >alpha$ e quindi $a_n \in V$ solo per un numero finito di indici venendo meno la definizione di valore di aderenza in quanto dovrebbe essere vero per infiniti indici?
Poi di come possa essere unico il valore di aderenza se è reale, ancora non mi è chiaro.
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro tempo.
Buona serata

[otta96]

Ci sono 2 errori, intanti non si deve dimostrare che sia l'unico valore di aderenza, ma il massimo.
Poi $\epsilon$ va preso in modo che $L+\epsilon<\alpha$ (tra l'altro il passaggio con $\alpha$ è inutile si poteva prendere direttamente in modo che $L+\epsilon

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[dattolico_007]

Allora si ho sbagliato a scrivere, volevo intendere $L+epsilon Quindi la dimostrazione si basa nel supporre che esista un valore di aderenza più grande di $L$ ma si cade in contraddizione da cui $L$ è il più grande ?

Per quanto riguarda la dimostrazione stavo pensando, se $L+epsilon =L+epsilon$ però non capisco perché sia vero che $a_n>alpha$. Non potrebbe essere qualcosa del tipo $L+epsilon<=a_n< alpha$ e quindi non appartenere all'intorno?

[otta96]

"paolo1712":però non capisco perché sia vero che $a_n>alpha$.

Perchè, chi lo ha detto?

[dattolico_007]

Nella dimostrazione che ho scritto all'inizio (che ho ricopiato dai miei appunti, presi a questo punto male )
" $a_n>alpha$ per finiti indici "

[otta96]

Anche $0$ è un numero finito, non hai preso male gli apunto, li hai male interpretati.

[dattolico_007]

Non ho capito cosa intendi.
$L+epsilon=L+epsilon$ e ancora $alpha>L+epsilon$ però non mi dice nulla sulla posizione reciproca di $a_n$ e $alpha$. Al limite potrei dire che $alpha>a_n$

[otta96]

"paolo1712":Vuol dire che prima di un certo indice $a_n>=L+epsilon$

No, vuol dire che DOPO un certo indice $a_n

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[dattolico_007]

Eh ok questa è la caratterizzazione del massimo limite. Da un certo indice in poi avrò che $a_nalpha$ ?

[otta96]

Perchè non possono essere infiniti.

[dattolico_007]

Continuo a non capire. Come arriva a dire che $a_n>alpha$ ?

[otta96]

Ma non è che per forza deve essere vero, è solo che lo è per al massimo un numero finito di valori, che è ciò che ti deve interessare.

[dattolico_007]

Ok allora posso dire che poiché $\forall n in N,n>=nu :a_n=L+epsilon$ e può succedere pure che $a_n>alpha$?
Cioè ho capito che non deve essere vero sempre e che lo è per finiti indici ma perché può succedere che $a_n$ da essere minore diventi maggiore di $alpha$? Perché non è sempre vero che $a_n

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[otta96]

"paolo1712":allora è vero $\exists n \in N, n=L+epsilon$ e può succedere pure che $a_n>alpha$?

No questa cosa te la stai inventando te, non segue da nulla.

[dattolico_007]

Eh si solo che non so spiegarmi come $a_n>alpha$ se $alpha>L+epsilon$ e $L+epsilon>a_n$ definitivamente. Cioè come è possibile?
Ci deve essere qualche punto in cui la successione diventa più grande di $L+epsilon$

[otta96]

Non è detto che ci sia.

[dattolico_007]

E quindi? Potresti essere più preciso?

[otta96]

Cioè dovresti leggerla così: $a_n

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[dattolico_007]

Ah quindi (togliendo di mezzo $alpha$), suppongo un $y>L$, tiro in ballo la caratterizzazione segue che $a_n$ non potrà mai appartenere ad un intorno di y perché sempre minore di $L+epsilon$. E anche in quei casi finiti un cui FORSE accade che $a_n$ sia maggiore di $L+epsilon$ o di $y$ non sono "sufficienti" per renderlo un valore di aderenza?

[otta96]

Si esatto.

[dattolico_007]

Chiaro, ti ringrazio.
Quindi la funzione di $alpha$ era solo quella di definire un estremo dell'intorno di $y$, cosa che però potrei fare con $L+epsilon$ definendo un intorno del tipo $V= (L+epsilon,+oo), V\in I_y$ e $a_n \in V$ solo per un numero finito di indici da cui non è vero che $y$ è valore di aderenza. Giusto?