Sottoinsieme finito di un gruppo
Lemma: se $H$ é un sottoinsieme finito di un gruppo $G$ e $H$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione, allora $H$ é un sottogruppo di $G$
Tralascio la dimostrazione(Se $ x in H$, allora $ x^2, x^3...in H$ per via della chiusura di $H$).... e provo a fare un esempio pratico :
Prendiamo il gruppo moltiplicativo $Z_5$ e consideriamo le potenze di $x=2$
Tra queste ci saranno per esempio $2^m=2^n$ con $m> n> 0$:
nel mio caso ho preso $2^6$ e $2^2$ e quindi ho ottenuto, $2^6*2^2=2^(6-2)=2^4=e=1$ da cui $e=1 in H $.
Avendo poi $ 6-2-1 >= 0$, per la legge di cancellazione, é $ 2^(6-2-1)= 2^3 in H $ ed é proprio l'inverso di $x=2$
Secondo voi esperti, come esempio pratico va bene? Grazie in anticipo
Tralascio la dimostrazione(Se $ x in H$, allora $ x^2, x^3...in H$ per via della chiusura di $H$).... e provo a fare un esempio pratico :
Prendiamo il gruppo moltiplicativo $Z_5$ e consideriamo le potenze di $x=2$
Tra queste ci saranno per esempio $2^m=2^n$ con $m> n> 0$:
nel mio caso ho preso $2^6$ e $2^2$ e quindi ho ottenuto, $2^6*2^2=2^(6-2)=2^4=e=1$ da cui $e=1 in H $.
Avendo poi $ 6-2-1 >= 0$, per la legge di cancellazione, é $ 2^(6-2-1)= 2^3 in H $ ed é proprio l'inverso di $x=2$
Secondo voi esperti, come esempio pratico va bene? Grazie in anticipo
Risposte
Ciao milos144.
Il lemma da te citato mi sembra falso.
Sia \( G=\mathbb{Z}_{6}^{*} \) gruppo rispetto l'usuale moltiplicazione e considero il sottoinsieme finito (chiuso rispetto alla moltiplicazione) $H=\{\overline{2},\overline{4}\}$, allora \( H \) non è ovviamente un sottogruppo di \( \mathbb{Z}_{6}^{*} \) non essendoci l' elemento neutro $\overline{1}$.
Ciao
Davide
Il lemma da te citato mi sembra falso.
Sia \( G=\mathbb{Z}_{6}^{*} \) gruppo rispetto l'usuale moltiplicazione e considero il sottoinsieme finito (chiuso rispetto alla moltiplicazione) $H=\{\overline{2},\overline{4}\}$, allora \( H \) non è ovviamente un sottogruppo di \( \mathbb{Z}_{6}^{*} \) non essendoci l' elemento neutro $\overline{1}$.
Ciao
Davide
"Davi90":
Ciao milos144.
Il lemma da te citato mi sembra falso.
Sia \( G=\mathbb{Z}_{6}^{*} \) gruppo rispetto l'usuale moltiplicazione e considero il sottoinsieme finito (chiuso rispetto alla moltiplicazione) $H=\{\overline{2},\overline{4}\}$, allora \( H \) non è ovviamente un sottogruppo di \( \mathbb{Z}_{6}^{*} \) non essendoci l' elemento neutro $\overline{1}$.
Ciao
Davide
Né $\bar 2$ né $\bar 4$ fanno parte di \(\mathbb{Z}_{6}^{*} \)...
"killing_buddha":
Né $\bar 2$ né $\bar 4$ fanno parte di \(\mathbb{Z}_{6}^{*} \)...
Che babbo che sono...hai ragione
....non so come abbia pensato una cosa del genere.Imbarazzante 
Niente mi eclisso. Mi sono fatto la dimostrazione e viene.
\( x^{ord(x)-1} \) è l'inverso di $x$ che sta in $H$ per l'ipotesi di chiusura e ovviamente \( 1=x\ x^{ord(x)-1} \) quindi ci sta anche l'elemento neutro.
Come esempio prenderei \( G=\mathbb{Q}^{*} \) e, ad esempio, il gruppo $H=\{1,-1\}$ che è un sottoinsieme finito di $G$, chiuso rispetto alla usuale moltiplicazione. L'esempio proposto da milos144 non l'ho capito...$\mathbb{Z}_{5}$ non è moltiplicativo e anche se prendiamo \( \mathbb{Z}_{5}^{*} \), il sottogruppo di tutte le potenze di $2$ in \( \mathbb{Z}_{5}^{*} \) è tutto \( \mathbb{Z}_{5}^{*} \)....spero di non aver cannato di nuovo
Il lemma dice:
se $H$ é un sottoinsieme finito di un gruppo $G$ e $H$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione, allora $H$ é un sottogruppo di $G$.
In questa situazione basta solo vedere che se $x in H$ é anche $x^-1 in H$
Comunque il mio esempio si riferisce a $G= Z_5^∗$
Sia adesso $x in H$ , allora $x^2=x*x$....$x^m in H$ per via della chiusura di $H$.
Gli infiniti elemento $x, x^2, x^m...$ devono tutti appartenere ad $H$ che é un sottinsieme finito. Tra questi elementi ci devono essere delle ripetizioni...
Io ho pensato di considerare il gruppo $Z_5^∗$ e ricavare un sottogruppo, considerando le potenze di $x$
Se non va bene, qual é il motivo? Grazie
se $H$ é un sottoinsieme finito di un gruppo $G$ e $H$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione, allora $H$ é un sottogruppo di $G$.
In questa situazione basta solo vedere che se $x in H$ é anche $x^-1 in H$
Comunque il mio esempio si riferisce a $G= Z_5^∗$
Sia adesso $x in H$ , allora $x^2=x*x$....$x^m in H$ per via della chiusura di $H$.
Gli infiniti elemento $x, x^2, x^m...$ devono tutti appartenere ad $H$ che é un sottinsieme finito. Tra questi elementi ci devono essere delle ripetizioni...
Io ho pensato di considerare il gruppo $Z_5^∗$ e ricavare un sottogruppo, considerando le potenze di $x$
Se non va bene, qual é il motivo? Grazie
Va bene prendere $2$ in \(\mathbb Z_5^*\); stai rifacendo la dimostrazione in un caso particolare 
"killing_buddha":
Va bene prendere $2$ in \(\mathbb Z_5^*\); stai rifacendo la dimostrazione in un caso particolare
Si è vero, sta rifacendo la dimostrazione, ma così non si ritrova \( \mathbb{Z}_{5}^{*} \), giusto? E' un rispettabilissimo sottogruppo improprio
però....è improprio...."milos144":
Il lemma dice:
Io ho pensato di considerare il gruppo $ Z_5^∗ $ e ricavare un sottogruppo, considerando le potenze di $ x $
Se non va bene, qual é il motivo? Grazie
No no va benissimo....è che ritrovi tutto il gruppo...$2^0=1, 2^1=2,2^2=4, 2^3=8=3$ e poi si ricomincia ciclicamente....io proponevo un sottogruppo proprio come esempio
"milos144":
Lemma: se $H$ é un sottoinsieme finito di un gruppo $G$ e $H$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione, allora $H$ é un sottogruppo di $G$.
Oh bella! E per quale motivo ti aspetti di riottenere $G$???
2 é un generatore di $G$
"milos144":
2 é un generatore di $G$
E infatti in quel caso speciale ottieni tutti gli elementi, ma in generale no.
Di nuovo, con calma: il lemmetto ti dice che se $H$ è chiuso per moltiplicazione e finito, allora è un sottogruppo. In generale è un sottogruppo proprio, a volte non lo è. Ok?
"milos144":
2 é un generatore di $ G $
Se ci pensi per \(\mathbb{Z}^{*}_5\) anche 3,4 sono generatori e quindi H sarà sempre \(\mathbb{Z}^{*}_5\). Altrimenti hai solo il sottogruppo banale.
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