Esercizio su anelli, divisori dello zero ed elementi invertibili
Salve, spero possiate aiutarmi con il seguente esercizio:
Determinare i divisori dello zero, gli elementi invertibili ed esplicitare l'inverso degli elementi invertibili nell'anello \(\displaystyle ( \mathbb{Z}_{26},+,\cdot ) \)
Ho trovato i divisori dello zero con \(\displaystyle a\neq 0\in \mathbb{Z} \) \(\displaystyle \exists b\neq0 | ab=0 \), che sono:
\(\displaystyle \left \{ [2],[4],[6],[8],[10],[12],[13],[14],[16],[18],[20],[22],[24] \right \} \)
Ho trovato poi gli elementi invertibili con \(\displaystyle U(\mathbb{Z}_{n}) = a\in \mathbb{Z}|MCD(a,n)=1 \), che sono:
\(\displaystyle U(\mathbb{Z}_{26}) = \left \{ [1],[3],[5],[7],[9],[11],[15],[17],[19],[21],[23],[25] \right \} \)
Fin qui credo di aver fatto tutto bene (correggetemi se sbaglio). Il problema sorge sulla forma esplicita degli elementi invertibili. Come la ottengo?
Grazie in anticipo
Determinare i divisori dello zero, gli elementi invertibili ed esplicitare l'inverso degli elementi invertibili nell'anello \(\displaystyle ( \mathbb{Z}_{26},+,\cdot ) \)
Ho trovato i divisori dello zero con \(\displaystyle a\neq 0\in \mathbb{Z} \) \(\displaystyle \exists b\neq0 | ab=0 \), che sono:
\(\displaystyle \left \{ [2],[4],[6],[8],[10],[12],[13],[14],[16],[18],[20],[22],[24] \right \} \)
Ho trovato poi gli elementi invertibili con \(\displaystyle U(\mathbb{Z}_{n}) = a\in \mathbb{Z}|MCD(a,n)=1 \), che sono:
\(\displaystyle U(\mathbb{Z}_{26}) = \left \{ [1],[3],[5],[7],[9],[11],[15],[17],[19],[21],[23],[25] \right \} \)
Fin qui credo di aver fatto tutto bene (correggetemi se sbaglio). Il problema sorge sulla forma esplicita degli elementi invertibili. Come la ottengo?
Grazie in anticipo
Risposte
Spero di aver capito la domanda...
Comunque io mi muoverei nel modo più ovvio, ovvero cercherei esplicitamente in $(U(ZZ_26))^2$ le coppie di elementi che sono uno inverso dell'altro.
Ne trovo un po' per farti capire cosa intendo:
$(\bar{1},\bar{1})$ è una coppia perché $\bar{1}$ è inverso di se stesso.
$(\bar{3},\bar{9})$ è una coppia.
Da questa sopra deduco che anche $(\bar{-3},\bar{-9})=(\bar{23},\bar{17})$ è una coppia.
Per ogni coppia $(a,b)$ avrei anche la coppia $(b,a)$ (direi di più... questa introdotta è una relazione di equivalenza)
Ho finito quando ogni elemento $x \in U(ZZ_26)$ sta in una coppia (ognuno apparirà esattamente due volte: $(x,y)$ e $(y,x)$).
Non credo ci sia un criterio per trovare l'inverso (qui sostanzialmente stiamo andando a caso/naso) e non so se varrebbe la pena applicarlo in un caso così piccolo
P.S. Sei sicuro che $0$ non vada contato tra i divisori di zero?
Comunque io mi muoverei nel modo più ovvio, ovvero cercherei esplicitamente in $(U(ZZ_26))^2$ le coppie di elementi che sono uno inverso dell'altro.
Ne trovo un po' per farti capire cosa intendo:
$(\bar{1},\bar{1})$ è una coppia perché $\bar{1}$ è inverso di se stesso.
$(\bar{3},\bar{9})$ è una coppia.
Da questa sopra deduco che anche $(\bar{-3},\bar{-9})=(\bar{23},\bar{17})$ è una coppia.
Per ogni coppia $(a,b)$ avrei anche la coppia $(b,a)$ (direi di più... questa introdotta è una relazione di equivalenza)
Ho finito quando ogni elemento $x \in U(ZZ_26)$ sta in una coppia (ognuno apparirà esattamente due volte: $(x,y)$ e $(y,x)$).
Non credo ci sia un criterio per trovare l'inverso (qui sostanzialmente stiamo andando a caso/naso) e non so se varrebbe la pena applicarlo in un caso così piccolo
P.S. Sei sicuro che $0$ non vada contato tra i divisori di zero?
Ciao! Innanzitutto grazie per la risposta;
Per quanto riguarda
credo di si, dal momento che ho seguito la formula \(\displaystyle a\neq 0\in \mathbb{Z} \) \(\displaystyle \exists b\neq0 | ab=0 \), dove esclude a prescindere lo $0$
Per la risoluzione dell'esercizio alla fine ho risolto (perdendoci la testa):
Partendo dalla definizione di inverso $a\cdot a^{-1}\equiv _{n}1$ arrivo ad $a^{-1}=\frac{nq+1}{a}$ con $q\in \mathbb{Z}\ \ t.c.\ nq=(a\cdot a^{-1})-1$
Per quanto riguarda
"jinsang":
P.S. Sei sicuro che $0$ non vada contato tra i divisori di zero?
credo di si, dal momento che ho seguito la formula \(\displaystyle a\neq 0\in \mathbb{Z} \) \(\displaystyle \exists b\neq0 | ab=0 \), dove esclude a prescindere lo $0$
Per la risoluzione dell'esercizio alla fine ho risolto (perdendoci la testa):
Partendo dalla definizione di inverso $a\cdot a^{-1}\equiv _{n}1$ arrivo ad $a^{-1}=\frac{nq+1}{a}$ con $q\in \mathbb{Z}\ \ t.c.\ nq=(a\cdot a^{-1})-1$
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