Dimostrazioni e induzione

[mattt1]

Salve a tutti, vi chiedo aiuto per questi esercizi:

Da usare solo le dimostrazioni (diretta, contrapposizione, assurdo o contro-esempio):
1. Se n>0 e (4^n)-1 è primo allora n è dispari

Da usare l'induzione:
2. Se n>=1 allora (n^3)+2n è divisibile per 3

Il primo non riesco a svolgerlo, mentre sul secondo mi ritrovo la tesi uguale a: (k^3) + 2k + 3((k^2) + k + 1), ma non si riesco a dimostrarla tramite induzione matematica.

Un grazie anticipato a chi deciderà di aiutarmi

[caulacau]

1. Esiste innanzitutto un $n>0$ tale che $4^n-1$ è primo?

2. \((n+1)^3+2(n+1) =
{\color{blue}n^3 }
+
{\color{magenta}3n}
+
{\color{magenta}3n^2}
+
{\color{red}1}
+
{\color{blue}2n}
+
{\color{red}2}\)
la cosa in blu è un multiplo di 3 per ipotesi induttiva; la cosa in rosso perché 1+2=3; la cosa in magenta perché c'è un 3 davanti a $n$.

[@melia]

1. per assurdo
Se n è pari, allora $n=2h,\ text(con ) hinNN$, il binomio diventa $ 4^n-1=4^(2h)-1=(4^h+1)*(4^h-1)$ che, per $h>0$, è un numero composto.

[mattt1]

Grazie