Polinomi
mi aiutate a risolvere questo esercizio?
Decomporre f = x4 − ̄4 ∈ Z5[x] come prodotto di polinomi monici irriducibili in Z5[x].
(i) In Z5[x], f ha fattori irriducibili di grado 3?
(ii) In generale, se un polinomio di grado 4 a coefficienti in un campo e privo di radici, questo
polinomio pu`o avere un fattore di grado 3?
(iii) Quanti sono i polinomi di grado 5 in Z5[x] che hanno sia ̄1 che ̄2 come radici?
Decomporre f = x4 − ̄4 ∈ Z5[x] come prodotto di polinomi monici irriducibili in Z5[x].
(i) In Z5[x], f ha fattori irriducibili di grado 3?
(ii) In generale, se un polinomio di grado 4 a coefficienti in un campo e privo di radici, questo
polinomio pu`o avere un fattore di grado 3?
(iii) Quanti sono i polinomi di grado 5 in Z5[x] che hanno sia ̄1 che ̄2 come radici?
Risposte
È una differenza di quadrati quindi...
1) evidentemente no (basta scomporlo)
2) usa il teorema di Ruffini
3) prendi il generico polinomio di grado 5 e sostituisci -1 e -2 imponendo che faccia zero (troverai due equazioni in 6 incognite, dipende dalle soluzioni del sistema, così su due piedi direi $4•5^3$, osservando che il coefficiente del termine di quinto grado non può fare zero, ma devi fare comunque i conti)
1) evidentemente no (basta scomporlo)
2) usa il teorema di Ruffini
3) prendi il generico polinomio di grado 5 e sostituisci -1 e -2 imponendo che faccia zero (troverai due equazioni in 6 incognite, dipende dalle soluzioni del sistema, così su due piedi direi $4•5^3$, osservando che il coefficiente del termine di quinto grado non può fare zero, ma devi fare comunque i conti)
"Reyzet":
È una differenza di quadrati quindi...
1) evidentemente no (basta scomporlo)
2) usa il teorema di Ruffini
3) prendi il generico polinomio di grado 5 e sostituisci -1 e -2 imponendo che faccia zero (troverai due equazioni in 6 incognite, dipende dalle soluzioni del sistema, così su due piedi direi $4•5^3$, osservando che il coefficiente del termine di quinto grado non può fare zero, ma devi fare comunque i conti)
ma per il punto uno intendi scomporre f in $ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2+2) $ e poi calcolare f(0),f(1),f(2),f(3),f(4) poi poiché sono diversi da zero non ha radici di grado tre questo intendi?
Ti risulta che $x - sqrt(2)$ e $ x + sqrt(2)$ sono polinomi di $ZZ_5[x]$?
cosa intendi...non ho capito? c'è come faccio a vedere se sono polinomi in z5[x]?
Qual è la definizione di polinomio a coefficienti in un campo?
Scusa ma allora è già scomposto...perché la definizione dice che f1 deve essere associato a f e f1 e monico
Molto di frequente, recentemente, mi capita di chiedermi perché alcune persone non rispondono alle domande che vengono loro poste...
"gugo82":
Molto di frequente, recentemente, mi capita di chiedermi perché alcune persone non rispondono alle domande che vengono loro poste...
Guarda che ho risposto la definizione che mi ha dato il mio professore è per ogni f appartenete a k[x]\{0r} esiste ed è unico f1 appartenete a k[x] tale che f1 è associato a f2 e f1 e monico
Ma io avevo chiesto cos'è un polinomio...
ah che io so che la definizione di polinomio e una combinazione lineare di potenze di x e comunque avevi chiesto la definizione di polinomio a coefficiente in un campo
Giusto, più o meno... E che cos'è una combinazione lineare?
Perché, se i coefficienti sono in un campo (piuttosto che in un dominio d'integrità, in un anello, etc...), la definizione di polinomio cambia?
"sara09":
comunque avevi chiesto la definizione di polinomio a coefficiente in un campo
Perché, se i coefficienti sono in un campo (piuttosto che in un dominio d'integrità, in un anello, etc...), la definizione di polinomio cambia?
la combinazione lineare e un insieme di termini ovvero ,a_0, a_1x ,a_2x...., a_nx^n
Ma no, ciò che scrivi non ha alcun senso.
Meglio che ti riguardi le definizioni di base: prima di metterti a fare esercizi quelle le devi conoscere, altrimenti non vai da nessuna parte.
Meglio che ti riguardi le definizioni di base: prima di metterti a fare esercizi quelle le devi conoscere, altrimenti non vai da nessuna parte.
ma questa e la definizione che mi ha dato il professore di polinomio....postresti dirmi quella corretta?
"sara09":
la combinazione lineare e un insieme di termini ovvero a_1,a_2....a_n
Qui stai dicendo che una combinazione lineare è un insieme di $n$ elementi... Ma ti sembra corretto?
Poi, si studia dai libri. Gli appunti presi a lezione servono solo ad indicare la strada attraverso i testi consigliati.
"gugo82":
[quote="sara09"]la combinazione lineare e un insieme di termini ovvero a_1,a_2....a_n
Qui stai dicendo che una combinazione lineare è un insieme di $n$ elementi... Ma ti sembra corretto?
Poi, si studia dai libri. Gli appunti presi a lezione servono solo ad indicare la strada attraverso i testi consigliati.[/quote]
no non e corretto volevo dire a_0, a_1x,a_2x,....,a_n(x^n)
Si vero...però ho cercato sul libro ma non c'è....il libro non è molto chiaro
Volevi dire una cosa ancora non corretta.
Che libro usi?
Mi pare strano che non ci sia una definizione di polinomio, o di combinare lineare... Guarda bene.
Che libro usi?
Mi pare strano che non ci sia una definizione di polinomio, o di combinare lineare... Guarda bene.
Sei in K[n] e' questo quello che ti vuol dire, i coefficienti sono tutti in quel anello o campo che sia
Sta dicendoti che sei in Z[5], un campo, e li vi stanno gli interi relativi
@Antonio Mantovani: Non credo che quanto scrivo abbia bisogno di esegesi.
Le domande poste sono sufficientemente chiare.
Le domande poste sono sufficientemente chiare.
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