Determinazione di omomorfismi.
Mi si chiede di trovare tutti gli omomorfismi d'anelli \( f: A \to B \) e nei seguenti quattro casi non ho capito alcune cose. Qualcuno sarebbe così gentile da chiarirmi il motivo?
1) \( A= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) e \( B= \mathbb{Z} \).
Soluzioni:
Non esistono omomorfismi d'anelli poiché \( n \cdot 1 = 0 \).
Dubbio:
Non capisco il motivo onestamente, se esiste \(f \) allora \( f(1)=1 \) e \( f(0) = 0 \) e in \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) abbiamo che \( 0 = n \) pertanto \( f(0)=f(n \cdot 1)= f(n) \cdot f(1) = 0 \cdot 1 = 0 \) che è consistente con il fatto che \( n \cdot 1 = 0 \). Non capisco come quell'argomentazione mi implichi che non esistono omomorfismi tra quei due anelli.
2) \( A= \mathbb{R} \) e \( B= \mathbb{R} \).
Soluzioni:
Costatiamo che il quadrato è inviato sui numeri positivi infatti \( f(x^2)=f(x)^2 \), quindi se \(a>b \) allora \( a-b \) essendo un quadrato abbiamo \( 0 < f(a-b) = f(a)-f(b) \)
Per conseguenza \( f \) deve preservare l'ordine. E siccome l'unico omomorfismo di anelli \(g: \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \) è l'inclusione, poiché \( b g(a/b)=g(b)g(a/b)=g(a)=a \) abbiamo che i razionali sono fissati e dunque per densità di \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \) abbiamo che \(f \) è l'identità.
Dubbio:
Non capisco come la densità di \( \mathbb{Q} \) nei reali mi fa concludere che \(f \) è l'identità.
In secondo luogo cosa mi assicura che \(f \) ristretto a \( \mathbb{Q} \) è un omomorfismo di annelli e quindi avere che \(f \) ristretto a \( \mathbb{Q} \) è l'inclusione?
3) \( A= \mathbb{R} \) e \( B= \mathbb{Q} \).
Mi dice che non esistono omomorfismi d'anelli perché \( f(\sqrt{2})^2=f(2)=2 \)
Ma proprio non capisco perché questo argomento mi mostra che non esistono omomorfismi.
4) \( A= \mathbb{R}[t] \) e \( B= \mathbb{R} \).
Mi dice che per la proprietà universale di un anello di polinomi ci sono tanti omomorfismi d'anelli tra \( A= \mathbb{R}[t] \) e \( B= \mathbb{R} \) quanti elementi possiede \( \mathbb{R} \).
Dubbio:
Ma a corso abbiamo visto che se \(A \) è un anello commutativo, cosa che è \( \mathbb{R}[t] \) e \(f:A\to B\) è un omomorfismo di anelli e sia \(b \in \mathbb{B} \) allora esiste un unico omomorfismo d'annelli \( \tilde{f} : A[t] \to B \) tale che \( \tilde{f} \circ i = f \) e \( \tilde{f}(t)=b \)
Quindi io direi che esistono tanti omomorfismi tra \(\mathbb{R}[t] \) e \(\mathbb{R} \) quanti quelli tra \( \mathbb{R} \) e \( \mathbb{R} \) e tanti quanti quelli tra \(\mathbb{R} \) e \(\mathbb{R}[t] \).
1) \( A= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) e \( B= \mathbb{Z} \).
Soluzioni:
Non esistono omomorfismi d'anelli poiché \( n \cdot 1 = 0 \).
Dubbio:
Non capisco il motivo onestamente, se esiste \(f \) allora \( f(1)=1 \) e \( f(0) = 0 \) e in \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) abbiamo che \( 0 = n \) pertanto \( f(0)=f(n \cdot 1)= f(n) \cdot f(1) = 0 \cdot 1 = 0 \) che è consistente con il fatto che \( n \cdot 1 = 0 \). Non capisco come quell'argomentazione mi implichi che non esistono omomorfismi tra quei due anelli.
2) \( A= \mathbb{R} \) e \( B= \mathbb{R} \).
Soluzioni:
Costatiamo che il quadrato è inviato sui numeri positivi infatti \( f(x^2)=f(x)^2 \), quindi se \(a>b \) allora \( a-b \) essendo un quadrato abbiamo \( 0 < f(a-b) = f(a)-f(b) \)
Per conseguenza \( f \) deve preservare l'ordine. E siccome l'unico omomorfismo di anelli \(g: \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \) è l'inclusione, poiché \( b g(a/b)=g(b)g(a/b)=g(a)=a \) abbiamo che i razionali sono fissati e dunque per densità di \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \) abbiamo che \(f \) è l'identità.
Dubbio:
Non capisco come la densità di \( \mathbb{Q} \) nei reali mi fa concludere che \(f \) è l'identità.
In secondo luogo cosa mi assicura che \(f \) ristretto a \( \mathbb{Q} \) è un omomorfismo di annelli e quindi avere che \(f \) ristretto a \( \mathbb{Q} \) è l'inclusione?
3) \( A= \mathbb{R} \) e \( B= \mathbb{Q} \).
Mi dice che non esistono omomorfismi d'anelli perché \( f(\sqrt{2})^2=f(2)=2 \)
Ma proprio non capisco perché questo argomento mi mostra che non esistono omomorfismi.
4) \( A= \mathbb{R}[t] \) e \( B= \mathbb{R} \).
Mi dice che per la proprietà universale di un anello di polinomi ci sono tanti omomorfismi d'anelli tra \( A= \mathbb{R}[t] \) e \( B= \mathbb{R} \) quanti elementi possiede \( \mathbb{R} \).
Dubbio:
Ma a corso abbiamo visto che se \(A \) è un anello commutativo, cosa che è \( \mathbb{R}[t] \) e \(f:A\to B\) è un omomorfismo di anelli e sia \(b \in \mathbb{B} \) allora esiste un unico omomorfismo d'annelli \( \tilde{f} : A[t] \to B \) tale che \( \tilde{f} \circ i = f \) e \( \tilde{f}(t)=b \)
Quindi io direi che esistono tanti omomorfismi tra \(\mathbb{R}[t] \) e \(\mathbb{R} \) quanti quelli tra \( \mathbb{R} \) e \( \mathbb{R} \) e tanti quanti quelli tra \(\mathbb{R} \) e \(\mathbb{R}[t] \).
Risposte
1. Se $G$ è ciclico di ordine $n$ e $H$ è senza torsione, non esiste nessun omomorfismo non costantemente nullo $f :G \to H$. Se esiste un tale omomorfismo, esso è determinato dall'immagine del generatore $g$ di $G$, dal momento che $f(g^k)=f(g)^k$ in $H$. Allora, siccome $f(0)=f(g^n)=f(g)^n$, $f(g)$ è di torsione in $H$; del resto, $H$ non ne ha.
Adatta questo argomento al tuo caso.
2. Un omomorfismo di anelli monotono è continuo per la topologia euclidea su $RR$; siccome $QQ$ è denso in $RR$ per quella topologia, e due funzioni su un T2 che coincidono su un denso coincidono ovunque, $f$ deve essere l'identità.
3. Un omomorfismo di anelli il cui dominio è un campo è iniettivo o zero (perché \(\ker f\) può essere solo zero o tutto); del resto, $RR$ è non numerabile, $QQ$ è numerabile...
4. La proprietà universale di $RR[t]$ dice che l'insieme \(\hom_{Ring}(\mathbb R[t],B)\) e l'insieme \(\hom_{Set}(\{t\}, B)\) sono in biiezione naturale; del resto il secondo è l'insieme degli elementi di $B$.
Adatta questo argomento al tuo caso.
2. Un omomorfismo di anelli monotono è continuo per la topologia euclidea su $RR$; siccome $QQ$ è denso in $RR$ per quella topologia, e due funzioni su un T2 che coincidono su un denso coincidono ovunque, $f$ deve essere l'identità.
3. Un omomorfismo di anelli il cui dominio è un campo è iniettivo o zero (perché \(\ker f\) può essere solo zero o tutto); del resto, $RR$ è non numerabile, $QQ$ è numerabile...
4. La proprietà universale di $RR[t]$ dice che l'insieme \(\hom_{Ring}(\mathbb R[t],B)\) e l'insieme \(\hom_{Set}(\{t\}, B)\) sono in biiezione naturale; del resto il secondo è l'insieme degli elementi di $B$.
"solaàl":
1. Se $G$ è ciclico di ordine $n$ e $H$ è senza torsione, non esiste nessun omomorfismo non costantemente nullo $f :G \to H$. Se esiste un tale omomorfismo, esso è determinato dall'immagine del generatore $g$ di $G$, dal momento che $f(g^k)=f(g)^k$ in $H$. Allora, siccome $f(0)=f(g^n)=f(g)^n$, $f(g)$ è di torsione in $H$; del resto, $H$ non ne ha.
Adatta questo argomento al tuo caso.
Quindi essendo \(1 \) generatore di \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) dovremmo avere che \( f(0)= f(n \cdot 1_{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}})=n \cdot f(1_{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}})=\sum_{k=1}^{n} 1_{ \mathbb{Z}} = n \) ma siccome dev'essere omomorfismo di anelli dovremmo avere \( f(0) = 0 \)
"solaàl":
3. Un omomorfismo di anelli il cui dominio è un campo è iniettivo (perché \(\ker f\) può essere solo zero o tutto); del resto, $RR$ è non numerabile, $QQ$ è numerabile...
Come fa ad essere iniettivo se il \( \ker f \) è tutto \( \mathbb{R} \) ?
Ad ogni modo non capisco come questa cosa la collego a \( f(\sqrt{2})^2=2 \) e come questo implica che \(f \) non è omomorfismo.
"3m0o":Infatti è zero, avevo scritto "è iniettivo o nullo" ma si deve essere perso.
Come fa ad essere iniettivo se il \( \ker f \) è tutto \( \mathbb{R} \) ?
Ad ogni modo non capisco come questa cosa la collego a \( f(\sqrt{2})^2=2 \) e come questo implica che \(f \) non è omomorfismo.Cosa fa $f$ su $QQ$?
Ti direi che su \( \mathbb{Q} \) dev'essere l'identità ed essendo iniettiva non c'è più "spazio" nel codominio per mappare gli \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).
Però mi è poco chiaro quanto segue:
1) Perché \( f \) è iniettiva.
Seguirebbe comunque che
\( f(\sqrt{2})^2 = 2 \) implica che \( f(\sqrt{2}) \not\in \mathbb{Q} \) quindi non è mappabile. E abbiamo \( f(2)=2 \) perché \(f(2 \cdot 1_{\mathbb{R}})=2 \cdot f(1_{\mathbb{R}}) = 2 \cdot 1_{\mathbb{Q}} = 2 \)
In generale è l'identità su \( \mathbb{Q} \) poiché per ogni \( q \in \mathbb{Q} \) risulta \(f(q \cdot 1_{\mathbb{R}})=q \cdot f(1_{\mathbb{R}}) = q \cdot 1_{\mathbb{Q}} = q \)
Però mi è poco chiaro quanto segue:
1) Perché \( f \) è iniettiva.
Seguirebbe comunque che
\( f(\sqrt{2})^2 = 2 \) implica che \( f(\sqrt{2}) \not\in \mathbb{Q} \) quindi non è mappabile. E abbiamo \( f(2)=2 \) perché \(f(2 \cdot 1_{\mathbb{R}})=2 \cdot f(1_{\mathbb{R}}) = 2 \cdot 1_{\mathbb{Q}} = 2 \)
In generale è l'identità su \( \mathbb{Q} \) poiché per ogni \( q \in \mathbb{Q} \) risulta \(f(q \cdot 1_{\mathbb{R}})=q \cdot f(1_{\mathbb{R}}) = q \cdot 1_{\mathbb{Q}} = q \)
Eh sì, se $f$ è un omomorfismo non può essere iniettivo. Ma allora è la mappa zero. E uno che non è zero, deve essere iniettivo. Ma non può esserlo per ragioni di cardinalità.
"solaàl":
Eh sì, se $f$ è un omomorfismo non può essere iniettivo. Ma allora è la mappa zero. E uno che non è zero, deve essere iniettivo. Ma non può esserlo per ragioni di cardinalità.
Mi sono spiegato male.
Non mi è chiaro il motivo per cui \( f \) è iniettivo oppure è la mappa zero.
Preso per vero questo fatto ho capito perché non esistono omomorfismi di anelli tra i reali e i razionali, ma mi sfugge il motivo per cui non posso avere una mappa diversa da zero e non iniettiva.
Beh, è ovvio: pensaci 
(se te lo dico io, te lo dimentichi presto; se te ne accorgi da solo, te lo ricordi per sempre)
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