Anello dei polinomi e anello delle serie di potenza
Esercizi su polinomi e serie di potenza formali:
1) Sia $R$ un anello commutativo e sia $p(x)$ un elemento di $R[x]$. Dimostradre che $p(x)$ è nilpotente se e solo se tutti i suoi coefficienti $a_0, a_1, ... , a_n$ sono elementi nilpotenti di $R$.
2) Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $R[[x]]$ l'anello delle serie di potenze formali a coefficienti in $R$. Un elemento $p(x)$ di $R[[x]]$, ovvero $ p(x)=sum_(n=0)^inftya_nx^n $, è invertibile in $R[[x]]$ se e solo se $a_0$ è invertibile in $R$.
Per il punto (1) se $a_0, a_1, ... , a_n$ sono nilpotenti in $R$ per ogni $i$ si ha che esiste $k_i$ tale per cui $a_i^ (k_i)=0$, prendiamo $k=max{k_0, k_1, ... , k_n}$, si ha che $(p(x))^(nk)=0$. Mi manca da dimostrare l'implicazione nell'altro verso.
Per il punto (2) se $ p(x)=sum_(n=0)^inftya_nx^n $ ha un inverso $ g(x)=sum_(n=0)^inftyb_nx^n $ si deve avere $a_0b_0=1$ e quindi $a_0$ è invertibile. Anche qui mi manca da dimostrare il senso contrario.
1) Sia $R$ un anello commutativo e sia $p(x)$ un elemento di $R[x]$. Dimostradre che $p(x)$ è nilpotente se e solo se tutti i suoi coefficienti $a_0, a_1, ... , a_n$ sono elementi nilpotenti di $R$.
2) Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $R[[x]]$ l'anello delle serie di potenze formali a coefficienti in $R$. Un elemento $p(x)$ di $R[[x]]$, ovvero $ p(x)=sum_(n=0)^inftya_nx^n $, è invertibile in $R[[x]]$ se e solo se $a_0$ è invertibile in $R$.
Per il punto (1) se $a_0, a_1, ... , a_n$ sono nilpotenti in $R$ per ogni $i$ si ha che esiste $k_i$ tale per cui $a_i^ (k_i)=0$, prendiamo $k=max{k_0, k_1, ... , k_n}$, si ha che $(p(x))^(nk)=0$. Mi manca da dimostrare l'implicazione nell'altro verso.
Per il punto (2) se $ p(x)=sum_(n=0)^inftya_nx^n $ ha un inverso $ g(x)=sum_(n=0)^inftyb_nx^n $ si deve avere $a_0b_0=1$ e quindi $a_0$ è invertibile. Anche qui mi manca da dimostrare il senso contrario.
Risposte
Per 2 si tratta di costruire induttivamente i coefficienti dell'inverso, tenendo a mente $1$ è la serie formale \(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n\) dove \(a_n = 1\) se $n=0$, e zero altrimenti. Allora dal fatto che $pg=1$, e dal principio di identità dei polinomi, che si estende alle serie formali, \(pg = 1\) implica che \(p_1g_0+p_0g_1=0\); questo ti permette di esprimere \(g_1\) in funzione di $p_0,p_1,g_0$.
Questo argomento fa partire l'induzione: vai avanti tu col passo induttivo.
Questo argomento fa partire l'induzione: vai avanti tu col passo induttivo.
Grazie per la risposta solaàl. Allora per il punto (2) si definisce $g_0=p_0^-1$ e poi in modo ricorsivo $g_n=-g_0sum_(k=1)^np_kg_(n-k)$. Il generico coefficiente per la potenza di grado $n$ di $p(x)g(x)$ diventa:
$ sum_(k=0)^np_kg_(n-k)=p_0g_n + sum_(k=1)^np_kg_(n-k)=0 $
$ sum_(k=0)^np_kg_(n-k)=p_0g_n + sum_(k=1)^np_kg_(n-k)=0 $
Sia $f\in A[X]$ nilpotente. Allora i coefficienti di $f$ sono nilpotenti di $A$.
Dimostrazione per induzione rispetto al grado:
grado $0$ e’ chiaro. Se il grado e’ $>0$, allora scriviamo $f=Xg + a_0$,
dove $a_0\in A$ e’ il termine noto di $f$. Poiche' $a_0=f(0)$ il coefficiente
$a_0$ e' nilpotente. Ne segue che $Xg=f-a_0$ e’ nilpotente.
Dal fatto che $X$ non e’ divisore dello zero in $A[X]$
segue che $g$ e’ nilpotente. Il grado di $g$ e’ minore di quello di $f$.
Per induzione i coefficienti di $g$ sono quindi nilpotenti.
Fatto
Dimostrazione per induzione rispetto al grado:
grado $0$ e’ chiaro. Se il grado e’ $>0$, allora scriviamo $f=Xg + a_0$,
dove $a_0\in A$ e’ il termine noto di $f$. Poiche' $a_0=f(0)$ il coefficiente
$a_0$ e' nilpotente. Ne segue che $Xg=f-a_0$ e’ nilpotente.
Dal fatto che $X$ non e’ divisore dello zero in $A[X]$
segue che $g$ e’ nilpotente. Il grado di $g$ e’ minore di quello di $f$.
Per induzione i coefficienti di $g$ sono quindi nilpotenti.
Fatto
Bella soluzione, grazie 
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