Confusione logica

[austrapio]

Ciao

Cerco un aiuto riguardo una cosa che mi sta facendo ammattire riguardo l'intuizione logica e quello che sto apprendendo nel corso di analisi come basi per le dimostrazioni.

In particolare mi sono fatto un esempio che non mi torna nel senso comune e vorrei capire formalmente cosa stia facendo

In pratica mi sono detto: di solito se nel parlato comune dico (se A allora B) allora B mi aspetto che A implichi B ed è sempre vero che: se (A=>B) allora vale di nuovo B

Però facendo la tavola di verità

A....B....A=>B....(A=>B)=>B
V....V.......V..............V.......
V....F.......F..............V.......
F....V.......V..............V.......
F....F.......V..............F........

mentre mi sarei aspetato una tautologia, dato che A implica B sicuramente intuitivamente mi veniva da dire che B era a sua volta implicato.

Un esempio concreto: (se x è padre allora x è maschio) allora x è maschio. Ogni volta che x è padre so essere maschio e quindi a sua volta posso affermare che x è maschio.

Credo in poche parole di non aver compreso qualcosa di (A=>B)=>B, avreste voglia di aiutarmi? Ringrazio molto.

[Studente Anonimo]

"austrapio":

Un esempio concreto: (se x è padre allora x è maschio) allora x è maschio. Ogni volta che x è padre so essere maschio e quindi a sua volta posso affermare che x è maschio.

Credo in poche parole di non aver compreso qualcosa di (A=>B)=>B, avreste voglia di aiutarmi? Ringrazio molto.

Ogni qualvolta che \(x\) è padre è un maschio. Ma nel caso in cui \(x\) fosse madre?

[G.D.5]

La tautologia che cerchi non è \( (A \to B) \to B\) ma \( ((A \to B) \land A) \to B\) e si chiama modus ponens. Esso è la regola di inferenza alla base delle deduzioni nel senso comune. Attenzione poi ad un'altra cosa: ad un certo punto potresti sentire e/o leggere qualcuno operare una distinzione tra implicazione logica e materiale: con "implicazione logica" si fa riferimento al rapporto di necessità tra premessa e conclusione, con la seconda si fa riferimento al connettivo \(\to\). Andando avanti con gli studi scoprirai però che le due cose sono collegate, almeno nella logica predicativa del primo ordine.

[austrapio]

Grazie mille per l'intervento. Ho indagato meglo il modus ponens e mi torna. Però mi chiedo cosa sia a conti fatti (A→B)→B nel senso che intuitivamente non riesco a capire perche se (A→B) non sia poi anche vero che a sua volta →B. Mi verrebbe da dire "se x è padre allora è maschio", ma allora a sua volta "implica è maschio" tanto quanto lo era nella prima implicazione della serie di due implicazioni.

[G.D.5]

\((A \to B) \to B\) non è niente. Per un motivo molto semplice. Per poter concludere che vale \(B\), devi sapere due cose: devi sapere che valgono le condizioni che implicano \(B\) e prima di questo devi sapere che esistono delle condizioni che implicano \(B\). Il fatto che valga \(A \to B\) significa semplice che sai che esistono delle condizioni \(A\) che implicano \(B\). Ma per poter concludere che in una data circostanza vale \(B\) devi sapere che in quella data circostanza valgono le condizioni che per l'appunto implicano \(B\), ovvero devi sapere che in quella data circostanza vale \(A\). Esempio: ti dico che se piove, allora per uscire prendo l'ombrello. Ti domando: oggi per uscire prendo l'ombrello? Per poterlo stabilire devi prima vedere se piove: se piove, allora sicuramente prendo l'ombrello, perché ti ho detto che se piove, allora per uscire prendo l'ombrello; se non piove non puoi stabilirlo perché non ti ho detto come mi comporto se non piove, può darsi che io esca senza prendere l'ombrello e può darsi che esca comunque prendendo l'ombrello, magari per precauzione.

[austrapio]

Ho compreso ora, grazie per la spiegazione

[G.D.5]

Prego.