Esempio di ideale massimale.

[Pasquale 90]

Buongiorno, ho il seguente esempio dove si prova che

$mZZ$ è massimale se e solo se $m$ è un numero primo.

Riporto l'implicazione da destra verso sinistra dove ho maggiori difficolta, dunque
sia $m=p$ con $p$ primo, allora $p>1$ sicché $pZZ subsetZZ.$
Considero $K$ ideale di $ZZ$ per cui $pZZ subseteq ZZ$, allora esiste $n ge 0 $ tale che $K=nZZ$.
Quindi $pZZ subseteq nZZ$ pertanto $n\\p$ essendo $p$ primo si ha $n=1$ oppure $n=p$.
Allora [bgcolor=yellow]$K=ZZ=mZZ$ oppure $K=pZZ=H$[/bgcolor], questo prova che $pZZ$ è massimale in $ZZ$.

La parte che non mi risulta chiara è quella evidenziata in giallo, capisco che viene dal fatto che $n$ può essere $1$ oppure $p$ e dalle seguenti proprietà

1) $r,s in NN$ $rZZ subseteq sZZ leftrightarrow s\\r$
2) $rZZ = sZZ leftrightarrow r=s$
3) $ZZ=sZZ leftrightarrow s=1$

ma non capisco come.

Saluti

[marco2132k]

Prendi \( m \) primo. Fai che \( \mathbb Z m\subsetneqq \mathfrak a \) per qualche ideale proprio \( \mathfrak a \), \( \mathfrak a\neq 0 \), di \( \mathbb Z \). Vedi che \( \mathfrak a = \mathbb Z n \) per qualche intero \( n \), eqquinidi \( m = kn \) per qualche \( k\in\mathbb Z \). Assurdo.

[Pasquale 90]

Ciao marco2132k, pensavo che l'uguaglianze si potessero dimostrare diversamente, tipo questa

$K=ZZ=mZZ$

la prima uguaglianza è data da $K=nZZ$ e $n=1$, quindi dalla 3) si ha $K=nZZ=ZZ.$
Ora $ZZ=mZZ$ equivale $ZZ subseteq mZZ$ e $mZZ subseteq ZZ$, la seconda delle due è banale, invece la prima $ZZ subseteq mZZ leftrightarrow m\\1 leftrightarrow m=1$ quel che so $m$ è primo, dunque $m>1.$

Dove sbaglio? comunque, l'esempio che ho riportato è della mia prof, quindi dovrei capire questo