Caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo quoziente.
Buongiorno, ho la seguente caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo quoziente
Caratterizzazione:
Sia $G(circ)$ gruppo, $H$ normale in $G$, se $K' le G/H$ allora $exists K le G$ tale che $H subseteq K$ e $K'=K/H.$
La dimostrazione mi è quasi chiara solo una parte no .... appartenenza.... capirete a breve.
Dimostrazione :
Poniamo $K={x in G\:\ xH in K'}$, quindi dobbiamo verificare $K le G$ per cui $H subseteq K$ e $K'=K/H.$
Per provare che $K le G$ osserviamo prima [bgcolor=yellow]$forall h in H$ si ha $hH=H in K'$ dunque $H subseteq K$.[/bgcolor]
Ho provato a ragionare cosi
quindi per definizione di $K$ equivale a chiedere che
il mio problema è capire l'appartenenza a $hH in K',$ cioè mi è chiaro che se prendo $h in H$ allora $h in G$ poiché $H le G$, allora, necessariamente $H subseteq G$, inoltre, anche l'uguaglianza tra i due laterali $hH=H$ mi è chiara, invece, non mi è chiara l'appartenenza $hH in K'.$
Chiaramente la dimostrazione continua, ma voglio focalizzarmi prima su questo dubbio, poi proseguo.
Saluti
Caratterizzazione:
Sia $G(circ)$ gruppo, $H$ normale in $G$, se $K' le G/H$ allora $exists K le G$ tale che $H subseteq K$ e $K'=K/H.$
La dimostrazione mi è quasi chiara solo una parte no .... appartenenza.... capirete a breve.
Dimostrazione :
Poniamo $K={x in G\:\ xH in K'}$, quindi dobbiamo verificare $K le G$ per cui $H subseteq K$ e $K'=K/H.$
Per provare che $K le G$ osserviamo prima [bgcolor=yellow]$forall h in H$ si ha $hH=H in K'$ dunque $H subseteq K$.[/bgcolor]
Ho provato a ragionare cosi
$H subseteq K leftrightarrow forall h in H to h in K $
quindi per definizione di $K$ equivale a chiedere che
$H subseteq K leftrightarrow forall h in H to h in G \:\ hH in K'$
il mio problema è capire l'appartenenza a $hH in K',$ cioè mi è chiaro che se prendo $h in H$ allora $h in G$ poiché $H le G$, allora, necessariamente $H subseteq G$, inoltre, anche l'uguaglianza tra i due laterali $hH=H$ mi è chiara, invece, non mi è chiara l'appartenenza $hH in K'.$
Chiaramente la dimostrazione continua, ma voglio focalizzarmi prima su questo dubbio, poi proseguo.
Saluti
Risposte
Se $h in H$ allora $hH=H$. È l'elemento neutro di $G//H$, quindi appartiene a tutti i suoi sottogruppi.
Ciao Martino, forse ho capito, grazie.
Per confermare, $H$ elemento neutro nel gruppo quoziente $G/H$, e, $K'$ sottogruppo di $G/H$, quindi, $H in K'$ per una delle caratterizzazioni dei sottogruppi.
Poiché per ogni $h in H$ si ha $H=hH$ allora, $hH in K'$, dall'arbitrarietà di $h$ si ha $H subseteq K.$
Ora continuo la dimostrazione.
Essendo $H subseteq K$ comporta $K ne emptyset.$
Prendiamo $x , y in K$ facciamo vedere che $x^(-1)y in K.$
Da $x in K$ si ha $xH in K'$, per definizione di $K$, similmente per $y in K$ si ha $yH in K'.$
Quindi, $xH , yH in K'$, e, $K'$ sottogruppo di $G/H$, allora $x^(-1)yH in K'$, si ha $x^(-1)y in K$ per definizione di $K'$.
Infine, proviamo l'uguaglianza;
$xH in K'$ allora $x in K$ allora per definizione di $K/H$ si ha $xH in K/H$
$xH in K/H$ allora $x in K$ allora per definizione di $K$ si ha $xH in K'$
dalla doppia inclusione si ha l'uguaglianza.
Va bene ?
Comunque non ho risposto all'altro messaggio perché oggi sto facendo algebra
Per confermare, $H$ elemento neutro nel gruppo quoziente $G/H$, e, $K'$ sottogruppo di $G/H$, quindi, $H in K'$ per una delle caratterizzazioni dei sottogruppi.
Poiché per ogni $h in H$ si ha $H=hH$ allora, $hH in K'$, dall'arbitrarietà di $h$ si ha $H subseteq K.$
Ora continuo la dimostrazione.
Essendo $H subseteq K$ comporta $K ne emptyset.$
Prendiamo $x , y in K$ facciamo vedere che $x^(-1)y in K.$
Da $x in K$ si ha $xH in K'$, per definizione di $K$, similmente per $y in K$ si ha $yH in K'.$
Quindi, $xH , yH in K'$, e, $K'$ sottogruppo di $G/H$, allora $x^(-1)yH in K'$, si ha $x^(-1)y in K$ per definizione di $K'$.
Infine, proviamo l'uguaglianza;
$xH in K'$ allora $x in K$ allora per definizione di $K/H$ si ha $xH in K/H$
$xH in K/H$ allora $x in K$ allora per definizione di $K$ si ha $xH in K'$
dalla doppia inclusione si ha l'uguaglianza.
Va bene ?
Comunque non ho risposto all'altro messaggio perché oggi sto facendo algebra
"Pasquale 90":Sì
Va bene ?
Grazie mille sei stato chiarissimo.
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