Il gruppo quoziente $(QQ/ZZ,+)$
Buongiorno, sto provando a verificare che il gruppo quoziente $(QQ/ZZ,+)$ è un gruppo periodico infinito.
Osservo
i) Il $(G,+)$ gruppo si dice periodico se esiste $n>0$ tale che $forall x in G$ risulta $nx=1_G$
ii) L'unità di $QQ/ZZ$ è $ZZ$
iii) Gli elementi di $QQ/ZZ$ sono dalla forma $x+ZZ$ con $x in QQ$.
Dunque, devo verificare per quale $n in NN$ si ha $n(x+ZZ)=ZZ.$
Preso $x=m/n$ con $m in ZZ$, ed $n in NN$, quindi $n(m/n+ZZ)=n(m/n)+nZZ=m+nZZ.$
Ora $m+nZZ ne ZZ$ quando $n ne 1.$
Quindi, se $n=1$ ottengo l'uguaglianza ma in tal caso non è verificata per un generico elemento di $QQ$
Quindi dov'è che sbaglio.
Osservo
i) Il $(G,+)$ gruppo si dice periodico se esiste $n>0$ tale che $forall x in G$ risulta $nx=1_G$
ii) L'unità di $QQ/ZZ$ è $ZZ$
iii) Gli elementi di $QQ/ZZ$ sono dalla forma $x+ZZ$ con $x in QQ$.
Dunque, devo verificare per quale $n in NN$ si ha $n(x+ZZ)=ZZ.$
Preso $x=m/n$ con $m in ZZ$, ed $n in NN$, quindi $n(m/n+ZZ)=n(m/n)+nZZ=m+nZZ.$
Ora $m+nZZ ne ZZ$ quando $n ne 1.$
Quindi, se $n=1$ ottengo l'uguaglianza ma in tal caso non è verificata per un generico elemento di $QQ$
Quindi dov'è che sbaglio.
Risposte
"Yuyu_13":
Buongiorno, sto provando a verificare che il gruppo quoziente $(QQ/ZZ,+)$ è un gruppo periodico infinito.
Osservo
i) Il $(G,+)$ gruppo si dice periodico se esiste $n>0$ tale che $forall x in G$ risulta $nx=1_G$
ii) L'unità di $QQ/ZZ$ è $ZZ$
iii) Gli elementi di $QQ/ZZ$ sono dalla forma $x+ZZ$ con $x in QQ$.
Dunque, devo verificare per quale $n in NN$ si ha $n(x+ZZ)=ZZ.$
Preso $x=m/n$ con $m in ZZ$, ed $n in NN$, quindi $n(m/n+ZZ)=n(m/n)+nZZ=m+nZZ.$
Ora $m+nZZ ne ZZ$ quando $n ne 1.$
Quindi, se $n=1$ ottengo l'uguaglianza ma in tal caso non è verificata per un generico elemento di $QQ$
Quindi dov'è che sbaglio.
i) ovviamente non e’ soddisfatta per quel gruppo.
Scusami, cosa ?
non e’ vero che esiste $n$ tale che $nx=1$ per ogni $x$, al massimo e’ vero che per ogni $x$ esiste $n$ tale che $nx=1$.
Si è vero, hai ragione.
Se ho capito bene, mi stai dicendo che il gruppo $(QQ/ZZ,+)$ non è un gruppo periodico infinito.
Ma questa affermazione viene scritta sulle dispense della mia professoressa, inoltre viene detto anche qui
[url]https://it.wikitolearn.org/Corso:Algebra_Gruppi_(Unimib)/Gruppi/Gruppi_quoziente[/url]
"hydro":
non e’ vero che esiste $ n $ tale che $ nx=1 $ per ogni $ x $, al massimo e’ vero che per ogni $ x $ esiste $ n $ tale che $ nx=1 $.
Se ho capito bene, mi stai dicendo che il gruppo $(QQ/ZZ,+)$ non è un gruppo periodico infinito.
Ma questa affermazione viene scritta sulle dispense della mia professoressa, inoltre viene detto anche qui
[url]https://it.wikitolearn.org/Corso:Algebra_Gruppi_(Unimib)/Gruppi/Gruppi_quoziente[/url]
Veramente su quelle dispense c'è scritto che ogni elemento di \(\mathbb Q/\mathbb Z\) ha periodo finito, il che è vero ed è la stessa cosa che ti ho detto io.
Forse ho capito.
Ho fatto confusione, il multiplo di un laterale $x+H$ secondo $n$ è $nx+H$ e non $nx+nH$.
Se è cosi, mi torna tutto.
Ho fatto confusione, il multiplo di un laterale $x+H$ secondo $n$ è $nx+H$ e non $nx+nH$.
Se è cosi, mi torna tutto.
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