Dimostrazione su insiemi e logica matematica (semplice)
Buongiorno.
Cerco una soluzione a un problema, inizialmente dovevo svolgere il seguente esercizio. Ho trovato la dimostrazione corretta, però ne ho anche un'altra che mi porta ad errore e dimostrare una cosa in teoria non vera. Non riesco a scovare l'errore e credo mi aiuterebbe a non ripeterlo capire a fondo.
Il tutto è nato con il seguente esercizio ormai risolto:
Siano
A,B⊆I. Dimostrare che: se (I\B)⊆(I\A) allora A⊆B
Ora un ragionamento che mi sembra corretto ma mi porta ad errore:
io ho preso la definizione di inclusione e scritto (x∈I ∧ x∉A)=>(x∈I ∧ x∉B), considerata la controniminale:
(x∉I ∨ x∈B)=>(x∉I ∨ x∈A) (1)
Per ipotesi inoltre x∈B=>x∈I e x∈A=>x∈I (2)
quindi avrei per le (2) che la (1) diventa x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I nell'antecedente e quindi si nota che la tavola di verità è identica alla tavola di x∈B (questo perché D:=(x∉I∧ x∈I) restituiscono tutti falsi dunque
D ∨ x∈B<=>x∈B in quanto una colonna tutta falsa di D collegata con "or" a x∈B ha stesso valore di verità di x∈B stesso); un ragionamento identico vale per il conseguente e ottengo che x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I si riduce a x∈A.
Insomma la (1) diventa (x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I)=>(x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I) che è equivalente per quanto detto qui sopra a x∈B=>x∈A
e questo dovrebbe a torto mostrare che se (I\B)⊆(I\A) allora B⊆A proprio perché da (I\B)⊆(I\A) unita alle ipotesi giungo a x∈B=>x∈A definizione di sottoinsieme.
dove risiede l'errore? ci sto impazzendo sopra e non capisco
Cerco una soluzione a un problema, inizialmente dovevo svolgere il seguente esercizio. Ho trovato la dimostrazione corretta, però ne ho anche un'altra che mi porta ad errore e dimostrare una cosa in teoria non vera. Non riesco a scovare l'errore e credo mi aiuterebbe a non ripeterlo capire a fondo.
Il tutto è nato con il seguente esercizio ormai risolto:
Siano
A,B⊆I. Dimostrare che: se (I\B)⊆(I\A) allora A⊆B
Ora un ragionamento che mi sembra corretto ma mi porta ad errore:
io ho preso la definizione di inclusione e scritto (x∈I ∧ x∉A)=>(x∈I ∧ x∉B), considerata la controniminale:
(x∉I ∨ x∈B)=>(x∉I ∨ x∈A) (1)
Per ipotesi inoltre x∈B=>x∈I e x∈A=>x∈I (2)
quindi avrei per le (2) che la (1) diventa x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I nell'antecedente e quindi si nota che la tavola di verità è identica alla tavola di x∈B (questo perché D:=(x∉I∧ x∈I) restituiscono tutti falsi dunque
D ∨ x∈B<=>x∈B in quanto una colonna tutta falsa di D collegata con "or" a x∈B ha stesso valore di verità di x∈B stesso); un ragionamento identico vale per il conseguente e ottengo che x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I si riduce a x∈A.
Insomma la (1) diventa (x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I)=>(x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I) che è equivalente per quanto detto qui sopra a x∈B=>x∈A
e questo dovrebbe a torto mostrare che se (I\B)⊆(I\A) allora B⊆A proprio perché da (I\B)⊆(I\A) unita alle ipotesi giungo a x∈B=>x∈A definizione di sottoinsieme.
dove risiede l'errore? ci sto impazzendo sopra e non capisco
Risposte
Questo
dovrebbe essere equivalente a questo
sei sicuro?
io ho preso la definizione di inclusione e scritto [tex](x\in I\land x\not\in A)\implies (x\in I\land x\not\in B)[/tex]
dovrebbe essere equivalente a questo
[tex]I\setminus B\subseteq I\setminus A,[/tex]
sei sicuro?
Ma sono un idiota 
Sono stato 40 ore a leggere la logica successiva non accorgendomi che ho invertito inavvertitamente già la prima riga. Ovviamente è il contrario XD, ma ora mi chiedo: è giusto Riscrivendo in modo
io ho preso la definizione di inclusione e scritto (x∈I ∧ x∉B)=>(x∈I ∧ x∉A), considerata la controniminale:
(x∉I ∨ x∈A)=>(x∉I ∨ x∈B) (1)
Per ipotesi inoltre x∈B=>x∈I e x∈A=>x∈I (2)
quindi avrei per le (2) che la (1) diventa x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I nell'antecedente e quindi si nota che la tavola di verità è identica alla tavola di x∈A (questo perché D:=(x∉I∧ x∈I) restituiscono tutti falsi dunque
D ∨ x∈A<=>x∈A in quanto una colonna tutta falsa di D collegata con "or" a x∈A ha stesso valore di verità di x∈A stesso); un ragionamento identico vale per il conseguente e ottengo che x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I si riduce a x∈B.
Insomma la (1) diventa (x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I)=>(x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I) che è equivalente per quanto detto qui sopra a x∈A=>x∈B
e questo dovrebbe mostrare che se (I\B)⊆(I\A) allora A⊆B proprio perché da (I\B)⊆(I\A) unita alle ipotesi giungo a x∈A=>x∈B definizione di sottoinsieme, che era quanto cercato.
Le domande residuano in 2 punti:
1) dimostrare così sarebbe una buona strada? (aka: è corretto come logica?)
2) non sono convinto del passaggio in cui scrivo "D:=(x∉I∧ x∈I) restituiscono tutti falsi dunque
D ∨ x∈A<=>x∈A" perchè in teoria ∨ ed ∧ non commutano tra loro, quindi non capisco se sarebbe: x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I oppure x∉I ∧ x∈I ∨ x∈A l'antecedente in (1).
Ri-grazie
Sono stato 40 ore a leggere la logica successiva non accorgendomi che ho invertito inavvertitamente già la prima riga. Ovviamente è il contrario XD, ma ora mi chiedo: è giusto Riscrivendo in modo
io ho preso la definizione di inclusione e scritto (x∈I ∧ x∉B)=>(x∈I ∧ x∉A), considerata la controniminale:
(x∉I ∨ x∈A)=>(x∉I ∨ x∈B) (1)
Per ipotesi inoltre x∈B=>x∈I e x∈A=>x∈I (2)
quindi avrei per le (2) che la (1) diventa x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I nell'antecedente e quindi si nota che la tavola di verità è identica alla tavola di x∈A (questo perché D:=(x∉I∧ x∈I) restituiscono tutti falsi dunque
D ∨ x∈A<=>x∈A in quanto una colonna tutta falsa di D collegata con "or" a x∈A ha stesso valore di verità di x∈A stesso); un ragionamento identico vale per il conseguente e ottengo che x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I si riduce a x∈B.
Insomma la (1) diventa (x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I)=>(x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I) che è equivalente per quanto detto qui sopra a x∈A=>x∈B
e questo dovrebbe mostrare che se (I\B)⊆(I\A) allora A⊆B proprio perché da (I\B)⊆(I\A) unita alle ipotesi giungo a x∈A=>x∈B definizione di sottoinsieme, che era quanto cercato.
Le domande residuano in 2 punti:
1) dimostrare così sarebbe una buona strada? (aka: è corretto come logica?)
2) non sono convinto del passaggio in cui scrivo "D:=(x∉I∧ x∈I) restituiscono tutti falsi dunque
D ∨ x∈A<=>x∈A" perchè in teoria ∨ ed ∧ non commutano tra loro, quindi non capisco se sarebbe: x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I oppure x∉I ∧ x∈I ∨ x∈A l'antecedente in (1).
Ri-grazie
La condizione [tex]I\setminus B\subseteq I\setminus A[/tex] significa
la sua contranominale è
che è equivalente a
Infatti [tex]x\in A\subseteq I[/tex] equivale a dire che [tex]x\not\in I\setminus A[/tex], ma [tex]I\setminus B\subseteq I\setminus A[/tex], quindi [tex]x\not\in I\setminus B[/tex] che è equivalente a [tex]x\in B\subseteq I.[/tex]
Il resto non l'ho capito. Cos'è la tavola di verità di [tex]x\in A[/tex]? Penso tu stia confondendo le dimostrazioni in logica matematica con le dimostrazioni in matematica, sono due cose diverse.
[tex]\forall x\in I\,(x\in I\setminus B\rightarrow x\in I\setminus A)[/tex]
la sua contranominale è
[tex]\forall x\in I\,(x\not\in I\setminus A\rightarrow x\not\in I\setminus B)[/tex]
che è equivalente a
[tex]\forall x\in I\,(x\in A\rightarrow x\in B).[/tex]
Infatti [tex]x\in A\subseteq I[/tex] equivale a dire che [tex]x\not\in I\setminus A[/tex], ma [tex]I\setminus B\subseteq I\setminus A[/tex], quindi [tex]x\not\in I\setminus B[/tex] che è equivalente a [tex]x\in B\subseteq I.[/tex]
Il resto non l'ho capito. Cos'è la tavola di verità di [tex]x\in A[/tex]? Penso tu stia confondendo le dimostrazioni in logica matematica con le dimostrazioni in matematica, sono due cose diverse.
La mia idea era di sfruttare le definizioni per questo parlavo di tavola di verità. Facendo un passo indietro la definizione di inclusione dice che $∀x(x in A→ x in B)$ ossia A sottoinsieme di B. Presi tutti i valori x nell'insieme universo se ogni x rende vero il predicato allora abbiamo un sottoinsieme. nota: da questo discende che il vuoto è sempre sottoinsieme in quanto l'antecedente è falso se A={} non ho x in A e dal falso segue qualunque cosa, insomma l'implicazione è vera e quindi è rispettata la def. di sottoinsieme.
Per questo parlavo di tavola di verità, io voglio spezzettare il problema e ricondurmi alla definizione e verificare i valori della proposizione sulle varie x e concludere.
Ricordo anche la definizione di differenza insiemistica $A-B:={x| x in A ∧ x∉B}$.
Forti di queste considerazioni ho pensato di riscrivere:
$(I-B)⊆(I-A)$
come da definizioni di inclusione e differenza date sopra
per ogni x $(x∈I ∧ x∉B)=>(x∈I ∧ x∉A)$
e quindi la sua contronominale p=>q come "non q implica p": $(x∉I ∨ x∈A)=>(x∉I ∨ x∈B)$ (1)
su questi predicati sostituendo "per ogni x" dell'insieme universo declino il predicanto in delle proposizioni vere o false di volta in volta, posso davvero fare una tavola di verità in sostanza.
Abbiamo inoltre le ipotesi $x∈B=>x∈I$ e $x∈A=>x∈I$ (2) per definizione di inclusione (il per ogni x è sempre sottointeso).
quindi avrei per le (2) che la (1) diventa $x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I$ nell'antecedente e quindi si nota che (qui mi ero espresso male con "tavola di verità" in raltà volevo dire che:) ai fini del ragionamento ove x rende vera o falsa $x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I$ rende equamente vera o falsa $x∈A$ (questo perché $D:=(x∉I∧ x∈I)$ restituiscono tutti falsi dunque $D ∨ x∈A<=>x∈A$ in quanto una colonna tutta falsa di D collegata con "or" a $x∈A$ ha stesso valore di verità di $x∈A$ stesso); un ragionamento identico vale per il conseguente e ottengo che $x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I$ si riduce a $x∈B$.
Insomma la (1) diventa $(x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I)=>(x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I)$ che è equivalente per quanto detto qui sopra a $x∈A=>x∈B$
E' più corretto? Come intuizione credo di sì, ma come potrei renderlo più formale?
Poi vorrei chiederti due delucidazioni su alcuni passaggi che non ho compreso appieno:
Non riesco bene a farmi tornare il perché, infatti:
per definizione di inclusione:
[tex]x\in A\subseteq I[/tex] equivale logicamente a: per ogni $x in A => x in I$ <=> $x ∉ A ∨ x in I$
Se invece prendessi per negazione della definizione di differenza insiemistica I-A:
$¬(x in I ∧ x∉ A)$ <=> $(x ∉ I ∨ x in A)$ che mi sembra diverso.
Per questo parlavo di tavola di verità, io voglio spezzettare il problema e ricondurmi alla definizione e verificare i valori della proposizione sulle varie x e concludere.
Ricordo anche la definizione di differenza insiemistica $A-B:={x| x in A ∧ x∉B}$.
Forti di queste considerazioni ho pensato di riscrivere:
$(I-B)⊆(I-A)$
come da definizioni di inclusione e differenza date sopra
per ogni x $(x∈I ∧ x∉B)=>(x∈I ∧ x∉A)$
e quindi la sua contronominale p=>q come "non q implica p": $(x∉I ∨ x∈A)=>(x∉I ∨ x∈B)$ (1)
su questi predicati sostituendo "per ogni x" dell'insieme universo declino il predicanto in delle proposizioni vere o false di volta in volta, posso davvero fare una tavola di verità in sostanza.
Abbiamo inoltre le ipotesi $x∈B=>x∈I$ e $x∈A=>x∈I$ (2) per definizione di inclusione (il per ogni x è sempre sottointeso).
quindi avrei per le (2) che la (1) diventa $x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I$ nell'antecedente e quindi si nota che (qui mi ero espresso male con "tavola di verità" in raltà volevo dire che:) ai fini del ragionamento ove x rende vera o falsa $x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I$ rende equamente vera o falsa $x∈A$ (questo perché $D:=(x∉I∧ x∈I)$ restituiscono tutti falsi dunque $D ∨ x∈A<=>x∈A$ in quanto una colonna tutta falsa di D collegata con "or" a $x∈A$ ha stesso valore di verità di $x∈A$ stesso); un ragionamento identico vale per il conseguente e ottengo che $x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I$ si riduce a $x∈B$.
Insomma la (1) diventa $(x∉I ∨ x∈A ∧ x∈I)=>(x∉I ∨ x∈B ∧ x∈I)$ che è equivalente per quanto detto qui sopra a $x∈A=>x∈B$
E' più corretto? Come intuizione credo di sì, ma come potrei renderlo più formale?
Poi vorrei chiederti due delucidazioni su alcuni passaggi che non ho compreso appieno:
[tex]x\in A\subseteq I[/tex] equivale a dire che [tex]x\not\in I\setminus A[/tex]
Non riesco bene a farmi tornare il perché, infatti:
per definizione di inclusione:
[tex]x\in A\subseteq I[/tex] equivale logicamente a: per ogni $x in A => x in I$ <=> $x ∉ A ∨ x in I$
Se invece prendessi per negazione della definizione di differenza insiemistica I-A:
$¬(x in I ∧ x∉ A)$ <=> $(x ∉ I ∨ x in A)$ che mi sembra diverso.
"austalopitechio":
Poi vorrei chiederti due delucidazioni su alcuni passaggi che non ho compreso appieno:
[tex]x\in A\subseteq I[/tex] equivale a dire che [tex]x\not\in I\setminus A[/tex]
Non riesco bene a farmi tornare il perché [...]
Sia [tex]A\subseteq I[/tex]. Se [tex]A=I[/tex] è ovvio. Assumiamo [tex]A\ne I[/tex], allora (denoto con [tex]\sqcup[/tex] l'unione disgiunta) dalla definizione di complementare di [tex]A[/tex] rispetto a [tex]I[/tex] segue che
[tex]I=A\sqcup I\setminus A.[/tex]
Ora, se [tex]x\in I[/tex] si ha [tex](x\in A\land x\not\in I\setminus A) \lor (x\in I\setminus A\land x\not\in A)[/tex]; pertanto se [tex]x\not\in I\setminus A[/tex] deve per forza essere [tex]x\in A[/tex]. Viceversa se [tex]x\in A[/tex] allora [tex]x\not\in I\setminus A[/tex].
In pratica se tu hai un insieme e scegli un suo sottoinsieme, allora un qualunque elemento dell'insieme o sta nel sottoinsieme o sta nel suo complementare (in senso mutuamente esclusivo).
"413":
La condizione [tex]I\setminus B\subseteq I\setminus A[/tex] significa
[tex]\forall x\in I\,(x\in I\setminus B\rightarrow x\in I\setminus A)[/tex]
La prima appartenenza non serve.
Basta \(\forall x (x \in I \setminus B \to x \in I \setminus A)\).
"413":
la sua contranominale è
[tex]\forall x\in I\,(x\not\in I\setminus A\rightarrow x\not\in I\setminus B)[/tex]
che è equivalente a
[tex]\forall x\in I\,(x\in A\rightarrow x\in B).[/tex]
Non è esatto.
"413":
Infatti [tex]x\in A\subseteq I[/tex] equivale a dire che [tex]x\not\in I\setminus A[/tex]
Non è vero. Siano per esempio \(I = \{0,1\}\) e \(A = \{0\}\): allora \(I \setminus A = \{1\}\) e \(x = 2\) è tale per cui è vero \(x \notin I \setminus A\) ma è falso \(x \in A\).
"G.D.":
[quote="413"]La condizione [tex]I\setminus B\subseteq I\setminus A[/tex] significa
[tex]\forall x\in I\,(x\in I\setminus B\rightarrow x\in I\setminus A)[/tex]
La prima appartenenza non serve.
Basta \(\forall x (x \in I \setminus B \to x \in I \setminus A)\).
[/quote]
Concordo. Ma l'esercizio riguarda sottoinsiemi di [tex]I[/tex].
"G.D.":
[quote="413"]la sua contranominale è
[tex]\forall x\in I\,(x\not\in I\setminus A\rightarrow x\not\in I\setminus B)[/tex]
che è equivalente a
[tex]\forall x\in I\,(x\in A\rightarrow x\in B).[/tex]
Non è esatto.
[/quote]
Spiega, per cortesia.
"G.D.":
[quote="413"]Infatti [tex]x\in A\subseteq I[/tex] equivale a dire che [tex]x\not\in I\setminus A[/tex]
Non è vero. Siano per esempio \(I = \{0,1\}\) e \(A = \{0\}\): allora \(I \setminus A = \{1\}\) e \(x = 2\) è tale per cui è vero \(x \notin I \setminus A\) ma è falso \(x \in A\).[/quote]
Però [tex]2\not \in I[/tex]. Ho sempre specificato che [tex]x\in I[/tex]. Forse qui non è chiaro, ma stavo pensando ai soli [tex]x\in I[/tex].
"413":
Infatti se [tex]x\in I[/tex], [tex]x\in A[/tex] equivale a dire che [tex]x\not\in I\setminus A[/tex]
Meglio?
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