Sull'aggettivo "interni" per gli automorfismi per coniugazione.

[luca691]

Senza nessuna pretesa di rigore, pensavo al seguente argomento per rendere visivamente plausibile l'aggettivo "interni" per gli automorfismi per coniugazione. Ve lo propongo per vedere se, al di là della possibile arbitrarietà di alcune interpretazioni, non vi siano almeno degli errori.

La moltiplicazione a sinistra e a destra per un fissato $a\in G$, ovvero \(\theta\colon G\to\operatorname{Sym}(G)\) e \(\gamma\colon G\to\operatorname{Sym}(G)\) definite da $\theta_a(g):=ag$ e $\gamma_a(g):=ga$, definiscono rispettivamente due sottogruppi \(\Theta:=\operatorname{im}\theta,\Gamma:=\operatorname{im}\gamma\), \(\Theta,\Gamma\le\operatorname{Sym}(G)\), tali che:

1. $G\cong \Theta$ (questo è il teorema di Cayley);
2. $\Theta\cap\Gamma\cong Z(G)$;
3. \(\Theta\Gamma=\Gamma\Theta\le\operatorname{Sym}(G)\), poichè $\theta_a\gamma_b=\gamma_b\theta_a$.

Il sottogruppo $\Theta\Gamma$ contiene tutta e sola l'informazione su "chi è $G$" come gruppo, e quindi lo possiamo pensare come "$G$ in \(\operatorname{Sym}(G)\)". Ora, constatato che \[\operatorname{Aut}(G)\cap\Theta\Gamma=\operatorname{Inn}(G)\] si vede che gli automorfismi per coniugazione sono tutti e soli gli automorfismi che stanno all'interno del "perimetro" di $G$ in \(\operatorname{Sym}(G)\) (ovvero in $\Theta\Gamma$).

[megas_archon]

Questa domanda è già stata fatta altrove, leggi qui: https://math.stackexchange.com/question ... d-this-way

[luca691]

Grazie del link, ho letto. Guess per guess, magari posto questa mia lì.