Sottogruppi di ordine 8 in S4

[iamlorenz]

Salve ragazzi. Sto provando da un pò questo esercizio.

Provare che S4 ha tre sottogruppi di ordine 8.

Però mi sono bloccato. L'idea è quella di trovare un gruppo isomorfo ai sottogruppi di ordine 8 in S4. Però non saprei come sfruttare questa cosa per andare avanti.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà.

[dan952]

Prova con il Terzo Teorema di Sylow...

[iamlorenz]

"dan95":Prova con il Terzo Teorema di Sylow...

Putroppo i teoremi di Sylow non sono previsti nel programma d'esame. Una tale soluzione non sarebbe accettata.

[hydro1]

Il sottogruppo diedrale di ordine 8 è un sottogruppo di $S_4$, perchè per definizione i suoi elementi permutano un insieme di cardinalità 4. Scriviti dei generatori. Adesso coniuga.

[dan952]

Alternativa con penna, carta e pazienza.

[luca691]

"hydro":Il sottogruppo diedrale di ordine 8 è un sottogruppo di $S_4$, perchè per definizione i suoi elementi permutano un insieme di cardinalità 4. Scriviti dei generatori. Adesso coniuga.

Sì, ma come dimostrare (senza Sylow) che i coniugati distinti sono proprio $3$? Come escludere altri sottogruppi (non diedrali) di ordine $8$ ($C_8$ a parte, non avendo $S_4$ elementi di ordine $8$)?

[hydro1]

"luca69":
Sì, ma come dimostrare (senza Sylow) che i coniugati distinti sono proprio $3$?

Piuttosto semplice: basta mostrare che le copie non coniugate di $D_8$ in $S_4$ sono univocamente determinate dall'unico sottogruppo ciclico di ordine $4$ di $D_8$. Questo puoi vederlo proprio con un conto diretto, perchè se prendi una copia $G$ di $D_8$ che come sottogruppo ciclico ha quello generato da $(1,2,3,4)$, questo deve contenere sempre anche $(1,2)(3,4)$, e questi due elementi generano. Quindi ora basta contare i sottogruppi coniugati di \(\langle (1,2,3,4)\rangle\), che sono $3$.

"luca69":Come escludere altri sottogruppi (non diedrali) di ordine $8$ ($C_8$ a parte, non avendo $S_4$ elementi di ordine $8$)?

Non mi sembra che la domanda chiedesse di fare questo, ma comunque come dice dan95: con carta, penna e pazienza. Ad esempio proviamo ad escludere $G=C_2^3$. Se questo contiene una trasposizione, a meno di coniugio possiamo supporre sia $(1,2)$. Se ne contiene un'altra, dev'essere $(3,4)$, altrimenti ci sarebbe un ciclo di lunghezza 3. Adesso gli altri elementi di ordine 2 diversi dal prodotto sono $(1,3)(2,4)$ e $(1,4)(2,3)$. Ma si vede subito che il prodotto di $(1,2)$ e uno di questi ha ordine $4$. Se $G$ contiene solo $(1,2)$ come trasposizione, non può contenere $(1,2)(3,4)$, e si ricade nel problema di prima. Infine, se $G$ non contiene trasposizioni allora contiene $(1,2)(3,4),(1,4)(2,3),(1,3)(2,4)$. Un po' di pazienza e si scopre che anche questo è impossibile.

[luca691]

"hydro":Piuttosto semplice.

In effetti, il primo indizio era notare che i sei $4$-cicli stanno a coppie in tre distinti gruppi ciclici di ordine $4$.

"hydro":Non mi sembra che la domanda chiedesse di fare questo

Mi sembra implicito. La domanda è: "provare che $S_4$ ha tre sottogruppi di ordine $8$"; ne abbiamo trovati tre (diedrali), per cui va mostrato che non ne esistono altri (in tal caso, non diedrali).

[hydro1]

"luca69":
Mi sembra implicito. La domanda è: "provare che $S_4$ ha tre sottogruppi di ordine $8$"; ne abbiamo trovati tre (diedrali), per cui va mostrato che non ne esistono altri (in tal caso, non diedrali).

No, in italiano provare che un gruppo ha 3 sottogruppi di ordine 8 vuol dire provare che ci sono almeno 3 sottogruppi di ordine 8. Altrimenti si chiede “Provare che ci sono esattamente 3 sottogruppi di ordine 8”.

[luca691]

"hydro":No, in italiano provare che un gruppo ha 3 sottogruppi di ordine 8 vuol dire provare che ci sono almeno 3 sottogruppi di ordine 8. Altrimenti si chiede “Provare che ci sono esattamente 3 sottogruppi di ordine 8”.

Allora da oggi dirò che ho 25 anni, senza tema di smentita.

[hydro1]

"luca69":[quote="hydro"]No, in italiano provare che un gruppo ha 3 sottogruppi di ordine 8 vuol dire provare che ci sono almeno 3 sottogruppi di ordine 8. Altrimenti si chiede “Provare che ci sono esattamente 3 sottogruppi di ordine 8”.

Allora da oggi dirò che ho 25 anni, senza tema di smentita.[/quote]

Nell’altro thread però hai detto che Cayley implica che $S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$ per ogni $n$, il che secondo la tua logica è falso. Per questo per evitare ambiguità si usano gli avverbi…

[luca691]

"hydro":[quote="luca69"][quote="hydro"]No, in italiano provare che un gruppo ha 3 sottogruppi di ordine 8 vuol dire provare che ci sono almeno 3 sottogruppi di ordine 8. Altrimenti si chiede “Provare che ci sono esattamente 3 sottogruppi di ordine 8”.

Allora da oggi dirò che ho 25 anni, senza tema di smentita.[/quote]

Nell’altro thread però hai detto che Cayley implica che $S_n$ ha un sottogruppo di ordine $n$ per ogni $n$, il che secondo la tua logica è falso. Per questo per evitare ambiguità si usano gli avverbi…[/quote]
mmm... "un" è articolo indeterminativo, mentre "$3$" è aggettivo numerale cardinale...

[hydro1]

E’ quantomeno ambiguo, perché “un” si usa anche come abbreviazione di “uno”. Comunque se non ti piace l’esempio pensa a frasi tipo “ho 30 anni di esperienza sul campo”: qui 30 è un’approssimazione, magari ne hi 28 magari 32. Se invece dici “ho 25 anni” intendi “esattamente 25”. Siccome aggiungete gli avverbi è gratis in matematica si usa farlo, a scanso di equivoci. Altrimenti poi parli tu con gli studenti che ti dicono “eh ma io la domanda l’avevo intesa in quest’altro modo…”.