Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buonasera, ho problemi con le definizioni base del prodotto wedge
Se $M$ è un $A$-modulo libero finitamente generato, diciamo $M=A^r$, sappiamo che anche $\bigwedge^nM$ è libero su $A$, in particolare, se $\{e_1,\ldots,e_r\}$ è una base di $M$ allora $\{e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_n}|1\leq i_1<i_2<\ldots<i_n\leq r\}$ è una base di $\bigwedge^nM$.
Il fatto che quell'insieme generi mi torna, non capisco perché sia libero, cioè, perché gli elementi siano linearmente ...
Sia $x^5-9x^4-3x^2+3inQQ[x]$ e sia $beta$ una radice di tale polinomio. Mi dice di mostrare che $QQ(beta)=QQ(beta^2)$ e trovare il polinomio minimo di $beta^2$ su $QQ$.
Allora io ho fatto così:
$QQ(beta^2)subeQQ(beta)$ è triviale ($beta^2=(beta)^2inQQ(beta)$).
Poi ho preso $f(x)=9x^2+3x-3$ e $g(x)=x^2$ in $QQ[x]$, intanto osservo che $g(beta^2)!=0$ altrimenti $beta=0$, assurdo dato che $x^5-9x^4-3x^2+3$ è irriducibile in $QQ$ (per Eisenstein), ...
La curva $\mathcal{C}:H(x,y)=0$, dove
$H(x,y)=2x^4+x^2y^2+2y^4+2x^2+xy+y^2+1,$
ha punti razionali su $\mathbb{F}_{27}$?
Purtroppo qui non posso applicare il bound di Hasse-Weil. C'è un altro modo per capire se ci sono o meno punti razionali?
Quante sono le funzioni $f:\mathbb{Z_{40}} \rightarrow \mathbb{Z_{60}}$ tali che $f([0]_{40}) = [0]_{60}$ e $f([1]_{40})=[1]_{60}$? Quante tra esse sono omomorfismi di gruppi additivi?
1) Tolti gli elementi $[0]_{40}$ e $[1]_{40}$, per assegnare un elemento di $\mathbb{Z_{60}}$ a ciascuno dei restanti 38 elementi di $\mathbb{Z_ {40}}$ si hanno a disposizione 60 scelte possibili, quindi il numero delle funzioni è
\[60^{38}\]
2) Nessuna di esse è un omomorfismo tra gruppi additivi perché $o([1]_{60})=60$ non divide ...
Buongiorno,
studiando la teoria dell'azione di un gruppo su un insieme mi sono imbattuto in problemi del tipo:
, oppure:
, e simili.
Per risolvere questi problemi si ricorre alla determinazione delle orbite e all'applicazione del teorema di Burnside, usando un opportuno gruppo (da determinare caso per caso) ...
Buongiorno a tutti, purtroppo non riesco a scrivere quello che voglio scrivere con l'editor, quindi farò con le immagini. La domanda è semplice e veloce: se $X$ è il coker di $f$ allora $F(X)$ è il coker di $F(f)$, provvisto che $F$ sia un funtore esatto a destra? Spero vivamente di sì.
Se qualcuno sa rispondere a questa domanda si può fermare nella lettura del messaggio. Di seguito rinfresco i concetti ed espongo una mezza idea ...
Gentili utenti del forum,
è corretto lo svolgimento del seguente esercizio?
Grazie
Quanti sono i numeri naturali di 5 cifre (decimali) in cui non ci sono tre
posizioni consecutive occupate dalla stessa cifra?
Svolgimento:
I numeri naturali di 5 cifre, con o senza 3 cifre uguali consecutive, sono
$$9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=9\cdot10^4$$
Infatti al primo posto possiamo assegnare ogni cifra decimale diversa da zero (altrimenti il numero sarebbe di 4 cifre), ...
Volevo capire se mi era chiara questa parte della dimostrazione della corrispondenza di Galois:
Sia $L$ un estensione normale di $K$, $F$ un campo intermedio e definiamo $L^H={alphainL| h(alpha)=alpha, AAhinH}$ con $H$ sottogruppo di $Gal(L//K)$.
Noi sappiamo che $r=|Gal(L//F)|=[L]$. Ora se $betainF$ abbiamo che $h(beta)=beta$ per ogni $hinGal(L//F)$ (questo per definizione di $Gal(L//F)$) e siccome $L^(Gal(L//F))={alphainL| h(alpha)=alpha, AAhinGal(L//F)}$ allora ...
Salve, mi sapreste dire i legami che ci sono tra insieme ordinato e reticolo?
Io da quello che ho capito vale che
RETICOLO => INSIEME ORDINATO , ma non vale il viceversa
Ho detto bene?
mostrare che se $B$ è un dominio a fattorizzazione unica e $0!=binB$ allora $B/(bX − 1)$ è ancora un dominio a fattorizzazione unica.
Allora intanto non mi ridà il fatto che sia $B/(bX − 1)$ e non $(B[X])/(bX − 1)$, infatti se prendessi $B=ZZ$ non avrebbe senso il quoziente $ZZ/(bX − 1)$ in quanto $(bX − 1)$ non è ideale di $ZZ$. Però vabbe a parte questo (di cui potrei pure sbagliarmi avendo capito male) ragionando in ...
Si consideri l’anello $A=ZZ[X,Y]_(/(2xy -1))$, stabilire se la classe in $A$ dell'elemento $2x^2-xy$ è irriducibile.
Abbiamo che $[2x^2-xy]=[x]*[2x-y]$ poichè $[x]$ è invertibile (l'inverso è $[2y]$) allora $[2x^2-xy]$ e $[2x-y]$ sono associati per cui mi basta mostrare che $[2x-y]$ è irriducibile. Però ora non so precisamente come mostrare che $[2x-y]$ è irriducibile (potrei prendere una generica fattorizzazione è mostrare che ...
Sia $A=ZZ_6[X]$ e $I=(x^2,3)$. Determinare la cardinalità di $A_(/I)$ e dire a quale estensione quadratica è isomorfo $A_(/I)$.
Per la cardinalità ho pensato $36$ mentre per l'isomorfismo $ZZ_(/6)[sqrt(2)]$, però non so, non o capito bene come procedere.
Salve, vi sottopongo il seguente esercizio svolto, vorrei sapere se lo svolgimento è corretto ed eventuali metodi di risoluzione alternativi:
Dati gli insiemi $A=\{3,4,5\}$ e $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, quante sono le funzioni $f:A\rightarrow B$ che soddisfano le seguenti condizioni:
1) $f$ è ingettiva
2) $\forall a \in A \quad f(a)>a $
Svolgimento:
Posto $f(A)=\{x,y,z\}$ con $x \ne y \ne z$ distinguiamo quattro casi:
a) $x,y,z \in \{6,7,8,9\}$
Allora la condizione 2 è soddisfatta in ogni caso e ...
Consideriamo l’anello $A=ZZ<em>_(/(2 + i))$. Determinare, se esiste, un omomorfismo di anelli $ZZ_(/25)->A$ e determinare se esiste, un omomorfismo di anelli, $\mathbb{F}_{25}->A$.
Allora intanto ho notato che $ZZ<em>_(/(2 + i))={[0]_(2+i),[1]_(2+i),<em>_(2+i),[-i]_(2+i),[-1]_(2+i)}$ per cui l'omomorfismo da $ZZ_(/25)$ ad $A$ l'ho fissato come:
$[0]_(25),[5]_(25),[10]_(25),[15]_(25),[20]_(25)->[0]_(2+i)$;
$[1]_(25),[6]_(25),[11]_(25),[16]_(25),[21]_(25)->[1]_(2+i)$;
$[2]_(25),[7]_(25),[12]_(25),[17]_(25),[22]_(25)-><em>_(2+i)$;
$[3]_(25),[8]_(25),[13]_(25),[18]_(25),[23]_(25)->[-i]_(2+i)$;
$[4]_(25),[9]_(25),[14]_(25),[19]_(25),[24]_(25)->[-1]_(2+i)$;
Mentre per l'omomorfismo da $\mathbb{F}_{25}$ (pensato come ad esempio $ZZ_(/5)[sqrt(2)]$) ad ...
Sia $A = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ l'anello delle funzioni reali a valori reali. Sia $B = {f \in A | f(\mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}}$.
Sia $I = {f \in B | f(r) = 0, \forall r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}$ e $J = { f \in B | f(\sqrt{2}) = 0 }$.
Devo mostrare che $B/J$ è un campo e che $J/I$ è un ideale massimale di $B/I$.
Ho mostrato che $I, J$ sono ideali di $B$ - sono non vuoti, soddisfano la proprietà assorbente e sono chiusi rispetto alla somma -.
Inoltre se $f \in I$ allora $f \in J$ e quindi $I \subseteq J$ e quindi ...
Mi aiutate con questo problema che mi sta arrovellando da un po' ma di cui non riesco a formalizzare la soluzione? Forse mi sto perdendo e non riesco a vedere la soluzione banale.
Smentire o dimostrare la seguente:
Siano \(\displaystyle a, b \in \mathbb{N}\) primi tra loro e positivi. Allora se \(\displaystyle c \geq ab \) l'equazione \(\displaystyle an+bm = c\) ammette sempre soluzioni con \(\displaystyle n, m \in \mathbb{N}\) e \(\displaystyle n, m\geq 0\).
Da Eulero sappiamo che esiste ...
Stabilire se $\mathbb{F}_(125)[sqrt(2)]$ è isomorfo a $\mathbb{F}_(125)[sqrt(3)]$ ed $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]$ è isomorfo a $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$.
Per i primi due ho notato che $\mathbb{F}_(125)$ non contiene $\mathbb{F}_(25)$ per cui i polinomio $x^2-2$ e $x^2-3$ sono irriducibili su $\mathbb{F}_(125)$ perciò $\mathbb{F}_(125)[sqrt(2)]$ e $ \mathbb{F}_(125)[sqrt(3)]$ sono entrambi isomorfi a $\mathbb{F}_(5^6)$.
Per quanto riguarda $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]$ e $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$ mi da il suggerimento di determinare quante radici ha ...
Consideriamo la funzione $\rho:ZZ->ZZ$ data da $\rho(m)=n iff 2^n<=abs(m)<2^(m+1)$ per ogni $m!=0$, e $\rho(0)=-1$. Mostrare che $\rho$ è una valutazione euclidea su $ZZ$.
Intanto c'è qualcosa che non mi rida, ad esempio se prendiamo $m<=-1$ abbiamo che $abs(m)>=1$ e $2^(m+1)<=1$ per cui si avrebbe che $abs(m)>=2^(m+1)$ che proprio il contrario della richiesta $abs(m)<2^(m+1)$. Da questo deduco che $m>=0$ se però prendo ...
Siano $f=x^3-x-1$ e $g=x^3-x+1$ polinomi in $\mathbb{F}_(3)[X]$. Determinare i campi di spezzamento di $f$ e $g$, e determinare esplicitamente, se esiste, un isomorfismo $\varphi:\mathbb{F}_(3)[X]_(/(f))->\mathbb{F}_(3)[X]_(/(g))$. Per i campi di spezzamento abbiamo $\mathbb{F}_(3)[X]_(/(f)) e \mathbb{F}_(3)[X]_(/(g))$ che sono entrami isomorfi a $\mathbb{F}_(27)$. Per l'isomorfismo in teoria sarebbe $\varphi([ax^2+bx+c]_(f))=[ax^2+bx+c]_(g)$ con $a,b,cin\mathbb{F}_(3)$. Non so però se sia giusto se potete confermarmi o confutarmi grazie.
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