Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Non so se mettere qui in Algebra o in Analisi questo post, mi sembra meglio qui, ma se no spostate. A proposito del Teorema delle funzioni implicite, e delle funzioni definite implicitamente, ho un esempio per cui il teorema delle funzioni implicite garantisce l'esistenza di una funzione definita implicitamente da una equazione, del tipo $F(x,y)=0$, ma non esiste una formula per la funzione. L'equazione è: $$y^3+16 y-32x^3+32x=0$$ Il locus ...

Se ho un campo $F$, sia $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$ un polinomio irriducibile a coefficienti in $F$,sia $x_1$ una radice, quindi $P(x_1)=0$ , eseguendo la divisione del suddetto polinomio per il fattore lineare $(x-x_1)$ si ottiene il polinomio $b_0+b_1x+b_2x_2+......+b_(n-1)x^(n-1)$ i coefficienti di questo polinomio dovranno appartenere al campo $F(x_1)$?

salve, sto cercando di risolvere questo esercizio ma sto avendo un po' di difficoltà poichè l'operazione binaria usata non è una di quelle basilari. l'esercizio mi dice questo: data l'operazione binaria definita così * = ∀a, b ∈ N (a ∗ b = |a − b|) verifica se l'operazione gode della proprietà associativa e commutativa in N (e non dovrebbe essere nè associativa nè commutativa). in seguito mi chiede di trovare tutti i neutri a destra e sinistra di (N, *), ovvero quello che sto avendo difficoltà ...

Penso di aver visto un teorema che dice qualcosa di simile. G ciclico Per ogni n tale che n | |G| esiste un unico sottogruppo di G di cardinalità n Non riesco a fare nessuna delle due frecce oggi disastro

Ciao a tutti, mi sto battendo su una tipologia di esercizi di logica che non riesco a capire. Questo è un esempio. Mi potete spiegare come si risolvono, anche con una spiegazione perfavore? Si consideri l'enunciato $ varphi : AA xAA y(R(x,y)^^ f(x)=y rarr EE z(R(x,z)^^ f(y)=z)) $ Determinare se è soddisfacibile e se è valido

Buonasera, ho problemi con le definizioni base del prodotto wedge Se $M$ è un $A$-modulo libero finitamente generato, diciamo $M=A^r$, sappiamo che anche $\bigwedge^nM$ è libero su $A$, in particolare, se $\{e_1,\ldots,e_r\}$ è una base di $M$ allora $\{e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_n}|1\leq i_1<i_2<\ldots<i_n\leq r\}$ è una base di $\bigwedge^nM$. Il fatto che quell'insieme generi mi torna, non capisco perché sia libero, cioè, perché gli elementi siano linearmente ...

Sia $x^5-9x^4-3x^2+3inQQ[x]$ e sia $beta$ una radice di tale polinomio. Mi dice di mostrare che $QQ(beta)=QQ(beta^2)$ e trovare il polinomio minimo di $beta^2$ su $QQ$. Allora io ho fatto così: $QQ(beta^2)subeQQ(beta)$ è triviale ($beta^2=(beta)^2inQQ(beta)$). Poi ho preso $f(x)=9x^2+3x-3$ e $g(x)=x^2$ in $QQ[x]$, intanto osservo che $g(beta^2)!=0$ altrimenti $beta=0$, assurdo dato che $x^5-9x^4-3x^2+3$ è irriducibile in $QQ$ (per Eisenstein), ...

La curva $\mathcal{C}:H(x,y)=0$, dove $H(x,y)=2x^4+x^2y^2+2y^4+2x^2+xy+y^2+1,$ ha punti razionali su $\mathbb{F}_{27}$? Purtroppo qui non posso applicare il bound di Hasse-Weil. C'è un altro modo per capire se ci sono o meno punti razionali?

Quante sono le funzioni $f:\mathbb{Z_{40}} \rightarrow \mathbb{Z_{60}}$ tali che $f([0]_{40}) = [0]_{60}$ e $f([1]_{40})=[1]_{60}$? Quante tra esse sono omomorfismi di gruppi additivi? 1) Tolti gli elementi $[0]_{40}$ e $[1]_{40}$, per assegnare un elemento di $\mathbb{Z_{60}}$ a ciascuno dei restanti 38 elementi di $\mathbb{Z_ {40}}$ si hanno a disposizione 60 scelte possibili, quindi il numero delle funzioni è \[60^{38}\] 2) Nessuna di esse è un omomorfismo tra gruppi additivi perché $o([1]_{60})=60$ non divide ...

Buongiorno, studiando la teoria dell'azione di un gruppo su un insieme mi sono imbattuto in problemi del tipo: , oppure: , e simili. Per risolvere questi problemi si ricorre alla determinazione delle orbite e all'applicazione del teorema di Burnside, usando un opportuno gruppo (da determinare caso per caso) ...

Buongiorno a tutti, purtroppo non riesco a scrivere quello che voglio scrivere con l'editor, quindi farò con le immagini. La domanda è semplice e veloce: se $X$ è il coker di $f$ allora $F(X)$ è il coker di $F(f)$, provvisto che $F$ sia un funtore esatto a destra? Spero vivamente di sì. Se qualcuno sa rispondere a questa domanda si può fermare nella lettura del messaggio. Di seguito rinfresco i concetti ed espongo una mezza idea ...

Gentili utenti del forum, è corretto lo svolgimento del seguente esercizio? Grazie Quanti sono i numeri naturali di 5 cifre (decimali) in cui non ci sono tre posizioni consecutive occupate dalla stessa cifra? Svolgimento: I numeri naturali di 5 cifre, con o senza 3 cifre uguali consecutive, sono $$9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=9\cdot10^4$$ Infatti al primo posto possiamo assegnare ogni cifra decimale diversa da zero (altrimenti il numero sarebbe di 4 cifre), ...

Volevo capire se mi era chiara questa parte della dimostrazione della corrispondenza di Galois: Sia $L$ un estensione normale di $K$, $F$ un campo intermedio e definiamo $L^H={alphainL| h(alpha)=alpha, AAhinH}$ con $H$ sottogruppo di $Gal(L//K)$. Noi sappiamo che $r=|Gal(L//F)|=[L]$. Ora se $betainF$ abbiamo che $h(beta)=beta$ per ogni $hinGal(L//F)$ (questo per definizione di $Gal(L//F)$) e siccome $L^(Gal(L//F))={alphainL| h(alpha)=alpha, AAhinGal(L//F)}$ allora ...

Salve, mi sapreste dire i legami che ci sono tra insieme ordinato e reticolo? Io da quello che ho capito vale che RETICOLO => INSIEME ORDINATO , ma non vale il viceversa Ho detto bene?

mostrare che se $B$ è un dominio a fattorizzazione unica e $0!=binB$ allora $B/(bX − 1)$ è ancora un dominio a fattorizzazione unica. Allora intanto non mi ridà il fatto che sia $B/(bX − 1)$ e non $(B[X])/(bX − 1)$, infatti se prendessi $B=ZZ$ non avrebbe senso il quoziente $ZZ/(bX − 1)$ in quanto $(bX − 1)$ non è ideale di $ZZ$. Però vabbe a parte questo (di cui potrei pure sbagliarmi avendo capito male) ragionando in ...

Si consideri l’anello $A=ZZ[X,Y]_(/(2xy -1))$, stabilire se la classe in $A$ dell'elemento $2x^2-xy$ è irriducibile. Abbiamo che $[2x^2-xy]=[x]*[2x-y]$ poichè $[x]$ è invertibile (l'inverso è $[2y]$) allora $[2x^2-xy]$ e $[2x-y]$ sono associati per cui mi basta mostrare che $[2x-y]$ è irriducibile. Però ora non so precisamente come mostrare che $[2x-y]$ è irriducibile (potrei prendere una generica fattorizzazione è mostrare che ...

Sia $A=ZZ_6[X]$ e $I=(x^2,3)$. Determinare la cardinalità di $A_(/I)$ e dire a quale estensione quadratica è isomorfo $A_(/I)$. Per la cardinalità ho pensato $36$ mentre per l'isomorfismo $ZZ_(/6)[sqrt(2)]$, però non so, non o capito bene come procedere.

Salve, vi sottopongo il seguente esercizio svolto, vorrei sapere se lo svolgimento è corretto ed eventuali metodi di risoluzione alternativi: Dati gli insiemi $A=\{3,4,5\}$ e $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, quante sono le funzioni $f:A\rightarrow B$ che soddisfano le seguenti condizioni: 1) $f$ è ingettiva 2) $\forall a \in A \quad f(a)>a $ Svolgimento: Posto $f(A)=\{x,y,z\}$ con $x \ne y \ne z$ distinguiamo quattro casi: a) $x,y,z \in \{6,7,8,9\}$ Allora la condizione 2 è soddisfatta in ogni caso e ...

Salve, mi sono da poco inbattuto in questo esercizio: Il seguente polinomio ha una radice ripetuta? $x^3 + x +2$ La soluzione è: Non ho capito come si fa a fare la risultante tra due polinomi e perchè il polinomio non ha radici ripetute, grazie a tutti

Consideriamo l’anello $A=ZZ<em>_(/(2 + i))$. Determinare, se esiste, un omomorfismo di anelli $ZZ_(/25)->A$ e determinare se esiste, un omomorfismo di anelli, $\mathbb{F}_{25}->A$. Allora intanto ho notato che $ZZ<em>_(/(2 + i))={[0]_(2+i),[1]_(2+i),<em>_(2+i),[-i]_(2+i),[-1]_(2+i)}$ per cui l'omomorfismo da $ZZ_(/25)$ ad $A$ l'ho fissato come: $[0]_(25),[5]_(25),[10]_(25),[15]_(25),[20]_(25)->[0]_(2+i)$; $[1]_(25),[6]_(25),[11]_(25),[16]_(25),[21]_(25)->[1]_(2+i)$; $[2]_(25),[7]_(25),[12]_(25),[17]_(25),[22]_(25)-><em>_(2+i)$; $[3]_(25),[8]_(25),[13]_(25),[18]_(25),[23]_(25)->[-i]_(2+i)$; $[4]_(25),[9]_(25),[14]_(25),[19]_(25),[24]_(25)->[-1]_(2+i)$; Mentre per l'omomorfismo da $\mathbb{F}_{25}$ (pensato come ad esempio $ZZ_(/5)[sqrt(2)]$) ad ...