Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Sia $A=CC[x,y,z]//(x^2-yz^2)$, mostrare che $[y]$ non è un quadrato in $A$.
Allora io ho pensato di ragionare per assurdo ovvero pongo $[y]=[k]^2$. Si ha allora che $([x-kz])([x+kz])=[x^2-yz^2]=[0]$. Siccome $x^2-yz^2$ non divide ne $x-kz$ ne $x+kz$ allora $[x-kz]!=[0]$ e $[x-kz]!=[0]$, quindi $A$ non è un dominio. Non so bene come proseguire dopo (non so se tipo in qualche modo si dimostra che $A$ è dominio e quindi ...
Sia $KsubeLsubeCC$ un'estensione di campi, $finK[x]$ irriducibile e $L$ il campo di spezzamento di $f$. Siano $alpha, beta$ radici di $f$ e $G=Gal(L//K)$. Mostrare che esiste $\tauinG$ tale che $\tau(alpha)=beta$.
Noi sappiamo che esiste un isomorfismo tra $K[alpha]$ e $K[beta]$ che fissa gli elementi di $K$ e manda $alpha$ in $beta$. Inoltre siccome $L$ campo ...
Salve , potete spiegarmi il seguente risultato : (1 5 ) (1 4 ) (1 3) (1 2 ) = $((1 2 3 4 5),(2 3 4 5 1 ))$
inoltre data la seguente notazione ciclica (1 2 3) (1 3 5 ) ( 2 4 ) dovrei ragionare in questo modo :
1--->2--->4 il ciclo manda 1 in 4
2--->3--->5 il ciclo manda 5 in 2
come continuo ?
(1 2 3) (1 3 5 ) ( 2 4 ) = $((1 2 3 4 5),(4 5 ? ? ? ))$
Non so se mettere qui in Algebra o in Analisi questo post, mi sembra meglio qui, ma se no spostate.
A proposito del Teorema delle funzioni implicite, e delle funzioni definite implicitamente, ho un esempio per cui il teorema delle funzioni implicite garantisce l'esistenza di una funzione definita implicitamente da una equazione, del tipo $F(x,y)=0$, ma non esiste una formula per la funzione.
L'equazione è:
$$y^3+16 y-32x^3+32x=0$$
Il locus ...
Se ho un campo $F$, sia $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$ un polinomio irriducibile a coefficienti in $F$,sia $x_1$ una radice, quindi $P(x_1)=0$ , eseguendo la divisione del suddetto polinomio per il fattore lineare $(x-x_1)$ si ottiene il polinomio $b_0+b_1x+b_2x_2+......+b_(n-1)x^(n-1)$ i coefficienti di questo polinomio dovranno appartenere al campo $F(x_1)$?
salve, sto cercando di risolvere questo esercizio ma sto avendo un po' di difficoltà poichè l'operazione binaria usata non è una di quelle basilari.
l'esercizio mi dice questo:
data l'operazione binaria definita così * = ∀a, b ∈ N (a ∗ b = |a − b|)
verifica se l'operazione gode della proprietà associativa e commutativa in N (e non dovrebbe essere nè associativa nè commutativa).
in seguito mi chiede di trovare tutti i neutri a destra e sinistra di (N, *), ovvero quello che sto avendo difficoltà ...
Penso di aver visto un teorema che dice qualcosa di simile.
G ciclico Per ogni n tale che n | |G| esiste un unico sottogruppo di G di cardinalità n
Non riesco a fare nessuna delle due frecce oggi disastro
Ciao a tutti,
mi sto battendo su una tipologia di esercizi di logica che non riesco a capire.
Questo è un esempio. Mi potete spiegare come si risolvono, anche con una spiegazione perfavore?
Si consideri l'enunciato
$ varphi : AA xAA y(R(x,y)^^ f(x)=y rarr EE z(R(x,z)^^ f(y)=z)) $
Determinare se è soddisfacibile e se è valido
Buonasera, ho problemi con le definizioni base del prodotto wedge
Se $M$ è un $A$-modulo libero finitamente generato, diciamo $M=A^r$, sappiamo che anche $\bigwedge^nM$ è libero su $A$, in particolare, se $\{e_1,\ldots,e_r\}$ è una base di $M$ allora $\{e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_n}|1\leq i_1<i_2<\ldots<i_n\leq r\}$ è una base di $\bigwedge^nM$.
Il fatto che quell'insieme generi mi torna, non capisco perché sia libero, cioè, perché gli elementi siano linearmente ...
Sia $x^5-9x^4-3x^2+3inQQ[x]$ e sia $beta$ una radice di tale polinomio. Mi dice di mostrare che $QQ(beta)=QQ(beta^2)$ e trovare il polinomio minimo di $beta^2$ su $QQ$.
Allora io ho fatto così:
$QQ(beta^2)subeQQ(beta)$ è triviale ($beta^2=(beta)^2inQQ(beta)$).
Poi ho preso $f(x)=9x^2+3x-3$ e $g(x)=x^2$ in $QQ[x]$, intanto osservo che $g(beta^2)!=0$ altrimenti $beta=0$, assurdo dato che $x^5-9x^4-3x^2+3$ è irriducibile in $QQ$ (per Eisenstein), ...
La curva $\mathcal{C}:H(x,y)=0$, dove
$H(x,y)=2x^4+x^2y^2+2y^4+2x^2+xy+y^2+1,$
ha punti razionali su $\mathbb{F}_{27}$?
Purtroppo qui non posso applicare il bound di Hasse-Weil. C'è un altro modo per capire se ci sono o meno punti razionali?
Quante sono le funzioni $f:\mathbb{Z_{40}} \rightarrow \mathbb{Z_{60}}$ tali che $f([0]_{40}) = [0]_{60}$ e $f([1]_{40})=[1]_{60}$? Quante tra esse sono omomorfismi di gruppi additivi?
1) Tolti gli elementi $[0]_{40}$ e $[1]_{40}$, per assegnare un elemento di $\mathbb{Z_{60}}$ a ciascuno dei restanti 38 elementi di $\mathbb{Z_ {40}}$ si hanno a disposizione 60 scelte possibili, quindi il numero delle funzioni è
\[60^{38}\]
2) Nessuna di esse è un omomorfismo tra gruppi additivi perché $o([1]_{60})=60$ non divide ...
Buongiorno,
studiando la teoria dell'azione di un gruppo su un insieme mi sono imbattuto in problemi del tipo:
, oppure:
, e simili.
Per risolvere questi problemi si ricorre alla determinazione delle orbite e all'applicazione del teorema di Burnside, usando un opportuno gruppo (da determinare caso per caso) ...
Buongiorno a tutti, purtroppo non riesco a scrivere quello che voglio scrivere con l'editor, quindi farò con le immagini. La domanda è semplice e veloce: se $X$ è il coker di $f$ allora $F(X)$ è il coker di $F(f)$, provvisto che $F$ sia un funtore esatto a destra? Spero vivamente di sì.
Se qualcuno sa rispondere a questa domanda si può fermare nella lettura del messaggio. Di seguito rinfresco i concetti ed espongo una mezza idea ...
Gentili utenti del forum,
è corretto lo svolgimento del seguente esercizio?
Grazie
Quanti sono i numeri naturali di 5 cifre (decimali) in cui non ci sono tre
posizioni consecutive occupate dalla stessa cifra?
Svolgimento:
I numeri naturali di 5 cifre, con o senza 3 cifre uguali consecutive, sono
$$9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=9\cdot10^4$$
Infatti al primo posto possiamo assegnare ogni cifra decimale diversa da zero (altrimenti il numero sarebbe di 4 cifre), ...
Volevo capire se mi era chiara questa parte della dimostrazione della corrispondenza di Galois:
Sia $L$ un estensione normale di $K$, $F$ un campo intermedio e definiamo $L^H={alphainL| h(alpha)=alpha, AAhinH}$ con $H$ sottogruppo di $Gal(L//K)$.
Noi sappiamo che $r=|Gal(L//F)|=[L]$. Ora se $betainF$ abbiamo che $h(beta)=beta$ per ogni $hinGal(L//F)$ (questo per definizione di $Gal(L//F)$) e siccome $L^(Gal(L//F))={alphainL| h(alpha)=alpha, AAhinGal(L//F)}$ allora ...
Salve, mi sapreste dire i legami che ci sono tra insieme ordinato e reticolo?
Io da quello che ho capito vale che
RETICOLO => INSIEME ORDINATO , ma non vale il viceversa
Ho detto bene?
mostrare che se $B$ è un dominio a fattorizzazione unica e $0!=binB$ allora $B/(bX − 1)$ è ancora un dominio a fattorizzazione unica.
Allora intanto non mi ridà il fatto che sia $B/(bX − 1)$ e non $(B[X])/(bX − 1)$, infatti se prendessi $B=ZZ$ non avrebbe senso il quoziente $ZZ/(bX − 1)$ in quanto $(bX − 1)$ non è ideale di $ZZ$. Però vabbe a parte questo (di cui potrei pure sbagliarmi avendo capito male) ragionando in ...
Si consideri l’anello $A=ZZ[X,Y]_(/(2xy -1))$, stabilire se la classe in $A$ dell'elemento $2x^2-xy$ è irriducibile.
Abbiamo che $[2x^2-xy]=[x]*[2x-y]$ poichè $[x]$ è invertibile (l'inverso è $[2y]$) allora $[2x^2-xy]$ e $[2x-y]$ sono associati per cui mi basta mostrare che $[2x-y]$ è irriducibile. Però ora non so precisamente come mostrare che $[2x-y]$ è irriducibile (potrei prendere una generica fattorizzazione è mostrare che ...
Sia $A=ZZ_6[X]$ e $I=(x^2,3)$. Determinare la cardinalità di $A_(/I)$ e dire a quale estensione quadratica è isomorfo $A_(/I)$.
Per la cardinalità ho pensato $36$ mentre per l'isomorfismo $ZZ_(/6)[sqrt(2)]$, però non so, non o capito bene come procedere.
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