Preferenze e relazioni d'ordine
Ho un dubbio su una questione che riguarda relazioni di ordine in un thread di Stack Exchange di economia, una domanda rimasta senza risposta, con però alcuni commenti sotto.
A me sembra che si stanno incartando, però è possibile che mi sto incartando io, può darsi che c'è qualcosa che mi confonde (tenendo presente che lì il livello non è basso, la maggior parte dei risponditori sono a livello di Phd).
Per cui chiedo un parere agli esimi algebristi qui presenti.
Una preferenza in economia è, per definizione, una relazione \( \succeq \) su un insieme $X \subseteq \ mathbb (R^n)$:
Riflessiva
Transitiva
Completa
Quindi è un preordine (non c'è antisimmetria) con in più la completezza.
Una proprietà standard che si attribuisce alle relazioni di preferenza è la continuità, così definita:
Continuità. Per ogni $y$ in $X$ , gli insiemi {x:x\( \succeq \) y} e {x:x \( \preceq \) y} sono insiemi chiusi.
La domanda su Stack Exchange (un po' di lana caprina e non di grande importanza in sé) è se una simile definizione di continuità delle preferenze può ricollegarsi alla definizione topologica di funzione continua, cioè che la controimmagine di un aperto è un aperto (o di un chiuso un chiuso).
E nel caso quale funzione si dovrebbe considerare.
La proposta dell'OP è:
What spaces and what function should we consider, to find an equivalent topological definition of continuity of a preference relation? I got as far that it must be either some map $f: X times X rightarrow X$or a map $f: X times X rightarrow {0,1}$, with $X$ in the topology induced by \( \succeq \) and ${0,1}$ in the discrete topology. But where to from here?
A me pare nowhere. Non l'ho capita, che ci fai? L'insieme chiuso che dovrebbe essere controimmagine, {x:x\( \succeq \) y} , è un sottoinsieme di $X$ e non di $X times X$.
Ma il punto è un'altro, che un commentatore dice che sì, si può vedere come controimmagine di una funzione se la relazione di preferenza \( \succeq \) è una funzione. Scrive:
The set \( \succeq _y\) [intende {x:x\( \succeq \) y} , nota mia] is the preimage of $y$ if the binary relation \( \succeq \) is a function, which recovers the definition for functions.
Allora, premesso che per me (ma non solo per me, pure per un premio Nobel
, Arrow) si tratta di due nozioni di continuità distinte, e solo per motivi contingenti si chiamano entrambe continuità (forse un po' più di fantasia nei nomi ci vorrebbe), e cercare un collegamento è un po' stiracchiato, mi chiedo: una relazione di preferenza come definita sopra può essere una funzione?
A me sembra di no, in particolare per la riflessività + la completezza.
Ad esempio, prendiamo per sempicità un insieme $X$ di soli tre elementi, $a$, $b$ e $c$, così mi spiego con un disegnino:
Per la riflessività $a$ deve essere in relazione con $a$, $b$ con $b$ e $c$ con $c$ (frecce blu).
Ma per la completezza, deve essere \( a\succeq b\) o \( b\succeq a\). Quindi o la freccia rossa o la freccia verde.
Ma in entrambi i casi, per la definizione di funzione no bbuono.
Lo stesso vale ovviamente per $c$, ma non mi metto a scrivere le frecce.
A me sembra che si stanno incartando, però è possibile che mi sto incartando io, può darsi che c'è qualcosa che mi confonde (tenendo presente che lì il livello non è basso, la maggior parte dei risponditori sono a livello di Phd).
Per cui chiedo un parere agli esimi algebristi qui presenti.
Una preferenza in economia è, per definizione, una relazione \( \succeq \) su un insieme $X \subseteq \ mathbb (R^n)$:
Riflessiva
Transitiva
Completa
Quindi è un preordine (non c'è antisimmetria) con in più la completezza.
Una proprietà standard che si attribuisce alle relazioni di preferenza è la continuità, così definita:
Continuità. Per ogni $y$ in $X$ , gli insiemi {x:x\( \succeq \) y} e {x:x \( \preceq \) y} sono insiemi chiusi.
La domanda su Stack Exchange (un po' di lana caprina e non di grande importanza in sé) è se una simile definizione di continuità delle preferenze può ricollegarsi alla definizione topologica di funzione continua, cioè che la controimmagine di un aperto è un aperto (o di un chiuso un chiuso).
E nel caso quale funzione si dovrebbe considerare.
La proposta dell'OP è:
What spaces and what function should we consider, to find an equivalent topological definition of continuity of a preference relation? I got as far that it must be either some map $f: X times X rightarrow X$or a map $f: X times X rightarrow {0,1}$, with $X$ in the topology induced by \( \succeq \) and ${0,1}$ in the discrete topology. But where to from here?
A me pare nowhere. Non l'ho capita, che ci fai? L'insieme chiuso che dovrebbe essere controimmagine, {x:x\( \succeq \) y} , è un sottoinsieme di $X$ e non di $X times X$.
Ma il punto è un'altro, che un commentatore dice che sì, si può vedere come controimmagine di una funzione se la relazione di preferenza \( \succeq \) è una funzione. Scrive:
The set \( \succeq _y\) [intende {x:x\( \succeq \) y} , nota mia] is the preimage of $y$ if the binary relation \( \succeq \) is a function, which recovers the definition for functions.
Allora, premesso che per me (ma non solo per me, pure per un premio Nobel
, Arrow) si tratta di due nozioni di continuità distinte, e solo per motivi contingenti si chiamano entrambe continuità (forse un po' più di fantasia nei nomi ci vorrebbe), e cercare un collegamento è un po' stiracchiato, mi chiedo: una relazione di preferenza come definita sopra può essere una funzione?A me sembra di no, in particolare per la riflessività + la completezza.
Ad esempio, prendiamo per sempicità un insieme $X$ di soli tre elementi, $a$, $b$ e $c$, così mi spiego con un disegnino:
Per la riflessività $a$ deve essere in relazione con $a$, $b$ con $b$ e $c$ con $c$ (frecce blu).
Ma per la completezza, deve essere \( a\succeq b\) o \( b\succeq a\). Quindi o la freccia rossa o la freccia verde.
Ma in entrambi i casi, per la definizione di funzione no bbuono.
Lo stesso vale ovviamente per $c$, ma non mi metto a scrivere le frecce.
Risposte
Le prime cose che mi sono venute in mente:
1) con completezza intendi relazione totale (mi sembra da quello che scrivi in fondo)? Perchè in realtà ha tanti significati e nessuno è quello;
2) quale topologia intendono su $X$?;
3) ma questa funzione che bisogna trovare deve dipendere solo da $X$ o anche dalla relazione? Nel primo caso il problema sarebbe interessante, nel secondo MOLTO meno (IMHO).
1) con completezza intendi relazione totale (mi sembra da quello che scrivi in fondo)? Perchè in realtà ha tanti significati e nessuno è quello;
2) quale topologia intendono su $X$?;
3) ma questa funzione che bisogna trovare deve dipendere solo da $X$ o anche dalla relazione? Nel primo caso il problema sarebbe interessante, nel secondo MOLTO meno (IMHO).
Allora:
Sì, sì intendono totale, usano sempre il temine 'completezza', ma è lo stesso, cioè due elementi sono sempre confrontabili.
$X$ è un sottinsieme di $mathbb(R^n)$, c'è la topologia usuale.
La terza domanda non l'ho capita tanto. Che intendi che deve dipendere dalla relazione?
La relazione è una, questa roba è parte della teoria del consumatore, ogni consumatore ha una sua relazione di preferenza, e qui analizziamo un singolo consumatore.
Sì, sì intendono totale, usano sempre il temine 'completezza', ma è lo stesso, cioè due elementi sono sempre confrontabili.
$X$ è un sottinsieme di $mathbb(R^n)$, c'è la topologia usuale.
La terza domanda non l'ho capita tanto. Che intendi che deve dipendere dalla relazione?
La relazione è una, questa roba è parte della teoria del consumatore, ogni consumatore ha una sua relazione di preferenza, e qui analizziamo un singolo consumatore.
Premetto che ho guardato la cosa solo di sfuggita e non sono sicuro di quello che sto dicendo.
Una funzione \( f\colon X\to X \), dove \( X\subset \mathbb R^n \), è continua se e solo se per ogni successione \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) di punti di \( X \) che ammette limite \( x = \lim_{n\to \infty}x_n \) in \( X \), si ha \( f(x) = \lim_{n\to \infty}f(x_n) \).
Scritto in set-theory--ese, stiamo dicendo che se \( \left((x_n,y_n)\right)_{n\in \mathbb N} \) è una successione di punti di \( X\times X \) tali che \( (x_n,y_n)\in f \) che ha per limite \( (x,y) \), allora \( (x,y)\in f \).
Non può essere che una preferenza sia continua (nel tuo senso) se e solo se per ogni successione \( \left((x_n,y_n)\right)_{n\in \mathbb N} \) di punti di \( X\times X \) tali che \( x_n\preceq y_n \) per la quale \( \lim_{n\to \infty}(x_n,y_n) = (x,y) \) si ha \( x\preceq y \)?
Questa cosa l'ho scritta semplicemente googlando "continuity of preference relation" o qualcosa di simile. Non ricordo la pagina di StackExchange da dove l'ho tirata fuori.
Una funzione \( f\colon X\to X \), dove \( X\subset \mathbb R^n \), è continua se e solo se per ogni successione \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) di punti di \( X \) che ammette limite \( x = \lim_{n\to \infty}x_n \) in \( X \), si ha \( f(x) = \lim_{n\to \infty}f(x_n) \).
Scritto in set-theory--ese, stiamo dicendo che se \( \left((x_n,y_n)\right)_{n\in \mathbb N} \) è una successione di punti di \( X\times X \) tali che \( (x_n,y_n)\in f \) che ha per limite \( (x,y) \), allora \( (x,y)\in f \).
Non può essere che una preferenza sia continua (nel tuo senso) se e solo se per ogni successione \( \left((x_n,y_n)\right)_{n\in \mathbb N} \) di punti di \( X\times X \) tali che \( x_n\preceq y_n \) per la quale \( \lim_{n\to \infty}(x_n,y_n) = (x,y) \) si ha \( x\preceq y \)?
Questa cosa l'ho scritta semplicemente googlando "continuity of preference relation" o qualcosa di simile. Non ricordo la pagina di StackExchange da dove l'ho tirata fuori.
Sì sì, marco, quella che hai trovato googlando è una definizione alternativa equivalente di continuità delle preferenze, a seconda dei testi si usa l'una o l'altra, e poi si dimostra l'equivalenza.
Infatti l'OP usava quella che hai citato tu, ma poi è stato proposto di usare quell'altra, che sembrava più parlante visto che si parla di insiemi chiusi.
Ma sono cose equivalenti.
Infatti l'OP usava quella che hai citato tu, ma poi è stato proposto di usare quell'altra, che sembrava più parlante visto che si parla di insiemi chiusi.
Ma sono cose equivalenti.
"gabriella127":E allora penso che la "continuità" delle preferenze si chiami così semplicemente per via di questa caratterizzazione. La "funzione che ha per controimmagine di un aperto un aperto" che cercate è semplicemente \( \preceq \), solo che non è una funzione ma una più generale relazione, no?
What spaces and what function should we consider, to find an equivalent topological definition of continuity of a preference relation?
A questo punto però ha senso chiamarla continua. Non capisco perché pensi il contrario.
Perché cercano una funzione, cioè qualcosa che dovrebbe soddisfare la definizione di funzione.
La ragione per cui la chiamano 'continua' c'è, ma non riguarda il fatto che la controimmagine di un aperto è un aperto.
La ragione per cui la chiamano 'continua' c'è, ma non riguarda il fatto che la controimmagine di un aperto è un aperto.
Ammetto che anche dopo la risposta alle mie domande non ho capito bene quello che si vuol cercare di fare.
Ma infatti, non è chiarissimo. L'OP di StackExchange vuole semplicemente capire se la definizione di continuità delle preferenze che ho messo sopra è la stessa cosa della definizione di continuità di una funzione in topologia, cioè che la controimmagine di un aperto è un aperto, se si prende una opportuna funzione.
A me sembra volere trovare un collegamento tra cose nate distinte, e con motivazioni distinte, che mi sa che non si riesce a trovare.
E' che io certe volte lì non capisco se sono io che non capisco perché ne sanno molto di più, o perché invece loro non sono Mandrake in matematica e fanno casino. Ci sono entrambi i casi.
In questo caso propendo per il casino, ma posso sbagliare io.
A me sembra volere trovare un collegamento tra cose nate distinte, e con motivazioni distinte, che mi sa che non si riesce a trovare.
E' che io certe volte lì non capisco se sono io che non capisco perché ne sanno molto di più, o perché invece loro non sono Mandrake in matematica e fanno casino. Ci sono entrambi i casi.
In questo caso propendo per il casino, ma posso sbagliare io.
Al momento non posso controllare se questa definizione è data apposta o è solo una coincidenza, ma la definizione di continuità non ha strettamente bisogno di una funzione, ne esiste una per le relazioni; una relazione $R$ su un insieme $X$ induce una funzione \(2^X\to 2^X\) a cui si può chiedere di mandare aperti in aperti, cioè di restringersi ad una funzione dalla topologia alla topologia; questa è una relazione "continua". Se faccio bene il conto a mente svoltolando la richiesta questo significa che ogni upper set sia aperto, e in effetti questa definizione esiste https://planetmath.org/continuousrelation per i preordini.
Più in generale esiste una nozione di relazione continua tra insiemi diversi: $R$ è un sottoinsieme di \(X\times Y\), ed è una relazione "continua" se ogni \(R_x := \{y\in Y\mid x\, R\, y\}\) e ogni \(R_y := \{x\in X\mid x\, R\, y \}\) sono aperti.
Ora, la domanda è: perché loro vogliono chiamare "continua" una relazione tale che ogni upset (e ogni downset) sia, invece, chiuso? Non lo so, ma almeno non mi sembra una nozione caduta dal cielo, sembra solo la duale di questa nozione, ed è possibile che siano equivalenti (in fin dei conti, sono equivalenti per relazioni funzionali).
Più in generale esiste una nozione di relazione continua tra insiemi diversi: $R$ è un sottoinsieme di \(X\times Y\), ed è una relazione "continua" se ogni \(R_x := \{y\in Y\mid x\, R\, y\}\) e ogni \(R_y := \{x\in X\mid x\, R\, y \}\) sono aperti.
Ora, la domanda è: perché loro vogliono chiamare "continua" una relazione tale che ogni upset (e ogni downset) sia, invece, chiuso? Non lo so, ma almeno non mi sembra una nozione caduta dal cielo, sembra solo la duale di questa nozione, ed è possibile che siano equivalenti (in fin dei conti, sono equivalenti per relazioni funzionali).
Hai perfettamente ragione.
Il motivo per cui si chiama 'continua' non balza agli occhi, ma non è una nozione caduta dal cielo.
Ora sono di corsa, caso mai la scrivo dopo, perché ci vuole un minimo di tempo.
Lo spiega in un suo libro Arrow, ad esempio, ma è abbastanza standard.
Diciamo che ha a che fare sempre con l'idea di non 'fare salti'.
Comunque sì, non ho ancora letto attentamente il tuo link, ma la definizione di continuità della relazione è quella, che gli upper contour e lower contour sets sono chiusi. E è possibile che sia equivalente alla definizione che dai di relazione continua in termini di aperti, non lo so.
Per quanto riguarda le relazioni e le funzioni, mi rifaccio alla domanda dell'OP su StackExchange e ai commenti, che vogliono una funzione continua, che conduca alla definizione di preferenze continue nel senso sopra definito.
Quello che contesto io è che in questo caso si possa trovare una funzione come loro vorrebbero.
Una relazione, vabbe', credo di sì, come dici tu.
Il motivo per cui si chiama 'continua' non balza agli occhi, ma non è una nozione caduta dal cielo.
Ora sono di corsa, caso mai la scrivo dopo, perché ci vuole un minimo di tempo.
Lo spiega in un suo libro Arrow, ad esempio, ma è abbastanza standard.
Diciamo che ha a che fare sempre con l'idea di non 'fare salti'.
Comunque sì, non ho ancora letto attentamente il tuo link, ma la definizione di continuità della relazione è quella, che gli upper contour e lower contour sets sono chiusi. E è possibile che sia equivalente alla definizione che dai di relazione continua in termini di aperti, non lo so.
Per quanto riguarda le relazioni e le funzioni, mi rifaccio alla domanda dell'OP su StackExchange e ai commenti, che vogliono una funzione continua, che conduca alla definizione di preferenze continue nel senso sopra definito.
Quello che contesto io è che in questo caso si possa trovare una funzione come loro vorrebbero.
Una relazione, vabbe', credo di sì, come dici tu.
La motivazione del termine 'continuità' per la definizione di continuità delle preferenze che ho scritto all'inizio, cioè:
Continuità. Per ogni $y$ in $X$ , gli insiemi {x:x\( \succeq \) y} e {x:x \( \preceq \) y} sono insiemi chiusi,
si può vedere prendendo formulazioni equivalenti. L'idea è sempre quella di non fare 'salti'.
Cito qui sotto da due riferimenti standard, importanti.
Una possibile motivazione è spiegata da Arrow in un suo testo:
Part (c) [la definizione sopra di continuità delle preferenze, nota mia] and the term "continuity" attached to it, may be slightly less familiar. The preference ordering is assumed to be continuous in the sense that a strict preference between two vectors is not altered if either is altered by a sufficiently small amounts; in symbols, if $x_h^1 \succ_h x_h^2$then there are neighborhoods, $N_1$ and $N_2$ of $x_h^1$ and $x_h^2$ , respectively, such that $x_h \succ_h x_h^2$ for all $x_h \in N_1$ and $x_h^1 \succ_h x_h$ for all $x_h \in N_2$.
This statement is equivalent to A.4.4(c) [la definizione sopra di continuità delle preferenze, nota mia].
Ometto la dimostrazione.
Il sottoscritto $h$ si riferisce al consumatore. Oltre alla relazione di preferenza $\succeq$ si definisce una relazione di preferenza stretta $\succ$ indotta dalla prima.
Una definizione di continuità delle preferenze equivalente (es., in Mas Colell, Microeconomic theory) è :
Definition: The preference relation $\succeq$ on $X$ is continuous if it is preserved under limits. That is, for any sequence of pairs {$(x^n, y^n)$} with $x^n\succeqy^n$ for all $n$, x= \( \lim_{n\rightarrow \infty} x^n\), and y= \( \lim_{n\rightarrow \infty} y^n\) , we have $x\succeq y$.
Continuity says that the consumer's preferences cannot exhibit 'jumps', with, for example, the consumer preferring each element in sequence {$x^n$} to the corresponding element in sequence {$y^n$} , but suddenly reversing her preference at the limiting points of these sequences of $x$ and $y$.
Questa definizione è equivalente a quella messa inizialmente, ometto la dimostrazione.
Continuità. Per ogni $y$ in $X$ , gli insiemi {x:x\( \succeq \) y} e {x:x \( \preceq \) y} sono insiemi chiusi,
si può vedere prendendo formulazioni equivalenti. L'idea è sempre quella di non fare 'salti'.
Cito qui sotto da due riferimenti standard, importanti.
Una possibile motivazione è spiegata da Arrow in un suo testo:
Part (c) [la definizione sopra di continuità delle preferenze, nota mia] and the term "continuity" attached to it, may be slightly less familiar. The preference ordering is assumed to be continuous in the sense that a strict preference between two vectors is not altered if either is altered by a sufficiently small amounts; in symbols, if $x_h^1 \succ_h x_h^2$then there are neighborhoods, $N_1$ and $N_2$ of $x_h^1$ and $x_h^2$ , respectively, such that $x_h \succ_h x_h^2$ for all $x_h \in N_1$ and $x_h^1 \succ_h x_h$ for all $x_h \in N_2$.
This statement is equivalent to A.4.4(c) [la definizione sopra di continuità delle preferenze, nota mia].
Ometto la dimostrazione.
Il sottoscritto $h$ si riferisce al consumatore. Oltre alla relazione di preferenza $\succeq$ si definisce una relazione di preferenza stretta $\succ$ indotta dalla prima.
Una definizione di continuità delle preferenze equivalente (es., in Mas Colell, Microeconomic theory) è :
Definition: The preference relation $\succeq$ on $X$ is continuous if it is preserved under limits. That is, for any sequence of pairs {$(x^n, y^n)$} with $x^n\succeqy^n$ for all $n$, x= \( \lim_{n\rightarrow \infty} x^n\), and y= \( \lim_{n\rightarrow \infty} y^n\) , we have $x\succeq y$.
Continuity says that the consumer's preferences cannot exhibit 'jumps', with, for example, the consumer preferring each element in sequence {$x^n$} to the corresponding element in sequence {$y^n$} , but suddenly reversing her preference at the limiting points of these sequences of $x$ and $y$.
Questa definizione è equivalente a quella messa inizialmente, ometto la dimostrazione.
Comunque mi sono accorto che non è nemmeno detto che si possa immergere $X$ come preordine in $RR$.
Puoi fare qualche esempio di preferenza non continua?
Puoi fare qualche esempio di preferenza non continua?
Scusa mi puoi spiegare che vuol dire immergere $X$ come preordine in $mathbb(R)$?.
Intendi che non può essere un preordine totale?
S', cerco qualche esempio di preferenza non continua, al momento come preferenza non continua coosco solo le preferenze lexicografiche.
Intendi che non può essere un preordine totale?
S', cerco qualche esempio di preferenza non continua, al momento come preferenza non continua coosco solo le preferenze lexicografiche.
No intendo che esiste una funzione $f:X->RR$ tale che $x\preceqy=>f(x)<=f(y)$.
Ad esempio l'ordine lessicografico.
Ad esempio l'ordine lessicografico.
Guarda Otta, se ho ben capito che dici, stai toccando un punto molto importante, che va oltre la questione delle preferenze, riguarda l'esistenza di una funzione di utilità, cioè una funzione $u$ da $X$ a $mathbb(R)$ tale che $x\succ y$ se e solo se $u(x)>u(y)$.
Un'ipotesi considerata necessaria per l'esistenza di una funzione di utilità è proprio che le preferenze siano continue.
E' roba complicata, c'è una letteratura in merito, quello delle preferenze è un ramo della microeconomia. Il teorema fondamentale a proposito dell'esistenza della funzione di utilità è di Debreu, premio Nobel, ma ci sono versioni più deboli del teorema.
Se ti va di spiegare quello che hai affermato sarebbe interessante.
Un'ipotesi considerata necessaria per l'esistenza di una funzione di utilità è proprio che le preferenze siano continue.
E' roba complicata, c'è una letteratura in merito, quello delle preferenze è un ramo della microeconomia. Il teorema fondamentale a proposito dell'esistenza della funzione di utilità è di Debreu, premio Nobel, ma ci sono versioni più deboli del teorema.
Se ti va di spiegare quello che hai affermato sarebbe interessante.
"gabriella127":
Un'ipotesi considerata necessaria per l'esistenza di una funzione di utilità è proprio che le preferenze siano continue.
Direi che non è vero, infatti per $X={-1/n|n\inNN}uu{1}$, dove si preferisce un numero se è più grande, l'immersione in $RR$ è una funzione di utilità ma la preferenza non è continua.
Quello che intendevo io è che mi ero accorto che a volte non esistono funzioni di utilità.
Sì, hai ragione, la continuità delle preferenze è condizione sufficiente per l'esistenza di una funzione di utilità continua.
Certo, non è detto che una funzione di utilità esista, questo era chiaro
Per spiegare intendevo come mostri che l'immersione può non esistere.
Certo, non è detto che una funzione di utilità esista, questo era chiaro
Per spiegare intendevo come mostri che l'immersione può non esistere.
Per esempio l'ordine lessicografico su $RR^2$, supponendo per assurdo che esista una funzione di utilità $u$, considero ${U_x=(u(x,0),u(x,1))|x\inRR}$, questa famiglia di intervalli è disgiunta perchè per $x
Grazie mille, interessante 
.
Mi trascrivo gli esempi che hai fatto e me li metto nei libri di microeconomia.
.Mi trascrivo gli esempi che hai fatto e me li metto nei libri di microeconomia.
Comunque un altro esempio è un insieme non numerabile in cui si mette un buon ordine.
Dimostrare che non esiste una funzione di utilità è meno scontato però.
Dimostrare che non esiste una funzione di utilità è meno scontato però.
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