Irriducibilità in $\mathbb{Q}_p$
Ciao a tutti, sto cercando di capire come si determini se un polinomio in $\mathbb{Q}_p$ con $p$ primo sia irriducibile oppure no. Gli strumenti che ho a disposizione sono limitati in numero ma non in "capacità", nonostante ciò il quadro non mi è ancora totalmente chiaro. Gli strumenti che mi sono noti sono
1) Lemma di Hensel (sia in versione con la radice semplice sia nella versione con il prodotto di polinomi tra loro primi)
2) Lemma di Krasner con il criterio che ne deriva
($f(x)=x^n+a_1x^{n+1}+...+a_0,\quad g(x)=xⁿ+b_1x^{n+1}+...+b_0 \in \mathbb{Z}_p[x]$ monici e dello stesso grado $n$. Se $f$ è irriducibile ed esiste $M>0$ t.c. $\nu (a_i- b_i) >M$ per ogni $i$ allora $g(x)$ è irriducibile e $\mathbb{Q}_p[x]//(f(x)) \cong \mathbb{Q}_p[x]//(g(x))$
3) Irriducibilità con il criterio di Eisenstein
In particolare mi sto scervellando da ormai un po' su 2 esercizi in particolare:
1) dimostrare che $x^5 - p^2$ è un polinomio irriducibile in $\mathbb{Q}_p$ con $p \geq 5$
Su questo ho davvero poche idee, non posso usare ne Eisenstein ne il lemma di Hensel. Mi rimane solo Krasner, per cui dovrei trovare un polinomio, che so essere irriducibile, con cui confrontare $x^5 - p^2 $. Ho provato con diversi polinomi ma non ho trovato nulla che potesse essere adatto.
2) Dati i polinomi $P_1=x^3-p, P_2=x^3+p^3 x²+2p^2x-p, P_3=x^3-x-p$ determinare se i vari $K_i=\mathbb{Q}_p[x]//(P_i(x))$ siano campi e se/quali tra loro isomorfi.
Su questo sono già più avanti. I polinomi sono tutti e 3 irriducibili per Eisenstein e di conseguenza i $K_i$ sono campi. A questo punto con il criterio derivante dal lemma di Krasner posso affermare che $K_1 \cong K_2$, ma tale criterio non mi permette di aggiungere nulla sul legame con $K_3$. La mia idea era di mostrare che in $K_3$ non ci siano radici di $P_1$; allora suppongo per assurdo ci sia $\alpha = g(x)+ (P_3(x))$ tale che $P_1(\alpha )=0$, questo mi porta a dire che $P_3|P_1(g(x))$ in $\mathbb{Q}_p[x]$. Ed è qui che mi fermo non avendo idea di cosa succeda quando un polinomio divida la composizione di due polinomi.
Qualcuno sa consigliarmi qualcosa?
1) Lemma di Hensel (sia in versione con la radice semplice sia nella versione con il prodotto di polinomi tra loro primi)
2) Lemma di Krasner con il criterio che ne deriva
($f(x)=x^n+a_1x^{n+1}+...+a_0,\quad g(x)=xⁿ+b_1x^{n+1}+...+b_0 \in \mathbb{Z}_p[x]$ monici e dello stesso grado $n$. Se $f$ è irriducibile ed esiste $M>0$ t.c. $\nu (a_i- b_i) >M$ per ogni $i$ allora $g(x)$ è irriducibile e $\mathbb{Q}_p[x]//(f(x)) \cong \mathbb{Q}_p[x]//(g(x))$
3) Irriducibilità con il criterio di Eisenstein
In particolare mi sto scervellando da ormai un po' su 2 esercizi in particolare:
1) dimostrare che $x^5 - p^2$ è un polinomio irriducibile in $\mathbb{Q}_p$ con $p \geq 5$
Su questo ho davvero poche idee, non posso usare ne Eisenstein ne il lemma di Hensel. Mi rimane solo Krasner, per cui dovrei trovare un polinomio, che so essere irriducibile, con cui confrontare $x^5 - p^2 $. Ho provato con diversi polinomi ma non ho trovato nulla che potesse essere adatto.
2) Dati i polinomi $P_1=x^3-p, P_2=x^3+p^3 x²+2p^2x-p, P_3=x^3-x-p$ determinare se i vari $K_i=\mathbb{Q}_p[x]//(P_i(x))$ siano campi e se/quali tra loro isomorfi.
Su questo sono già più avanti. I polinomi sono tutti e 3 irriducibili per Eisenstein e di conseguenza i $K_i$ sono campi. A questo punto con il criterio derivante dal lemma di Krasner posso affermare che $K_1 \cong K_2$, ma tale criterio non mi permette di aggiungere nulla sul legame con $K_3$. La mia idea era di mostrare che in $K_3$ non ci siano radici di $P_1$; allora suppongo per assurdo ci sia $\alpha = g(x)+ (P_3(x))$ tale che $P_1(\alpha )=0$, questo mi porta a dire che $P_3|P_1(g(x))$ in $\mathbb{Q}_p[x]$. Ed è qui che mi fermo non avendo idea di cosa succeda quando un polinomio divida la composizione di due polinomi.
Qualcuno sa consigliarmi qualcosa?
Risposte
1) Il lemma di Krasner non funziona così. Non è proprio possibile perchè ad esempio $x^2-5$ è irriducibile in $\mathbb Q_2$ perchè $5$ non è un quadrato, ma $x^2-1$ è riducibile e $v_2(5-1)>0$. Il punto è che esiste $M>0$ tale che..., non è che puoi sceglierla tu. Può darsi che in questo caso tu possa applicare Krasner con il polinomio $x^5-p-p^2$ che è irriducibile per Hensel, però non so, dovresti calcolarti $M$ (cosa che si può fare abbastanza facilmente). In questo caso specifico, ti suggerirei di usare il criterio di irriducibilità che viene dal poligono di Newton del polinomio.
2) Certamente $P_3$ non può essere irriducibile, perchè ha una radice semplice modulo $p$ e quindi per Hensel ce l'ha anche in $\mathbb Q_p$.
2) Certamente $P_3$ non può essere irriducibile, perchè ha una radice semplice modulo $p$ e quindi per Hensel ce l'ha anche in $\mathbb Q_p$.
Innanzitutto grazie mille per la risposta, penso di non aver capito proprio il funzionamento de lemma di Krasner allora. Mi pareva che bastasse trovare un $M$ generico tale per cui $\nu (a_i - b_i) >M$, mi rivedrò meglio la dimostrazione per capire dove venga utilizzata una condizione su $M$. Ma allora $M$ come lo trovo?
Poi come fai ad usare Hensel su $x^5-p - p^2$ ? Quando lo porto in $\mathbb{F}_p$ diventa $x^5$ e non posso farci nulla dato che ha una radice con molteplicità 5. Per quanto riguarda il poligono di Newton ho letto qualcosina ma non ho trovato nulla di esaustivo che me lo spiegasse bene, sapresti linkarmi qualcosa?
Per il polinomio $P_3$ ho proprio preso uno “sfondone” nel calcolare la valutazione dei singoli coefficienti
Ancora grazie mille
Poi come fai ad usare Hensel su $x^5-p - p^2$ ? Quando lo porto in $\mathbb{F}_p$ diventa $x^5$ e non posso farci nulla dato che ha una radice con molteplicità 5. Per quanto riguarda il poligono di Newton ho letto qualcosina ma non ho trovato nulla di esaustivo che me lo spiegasse bene, sapresti linkarmi qualcosa?
Per il polinomio $P_3$ ho proprio preso uno “sfondone” nel calcolare la valutazione dei singoli coefficienti

Ancora grazie mille
"broccolo99":
Innanzitutto grazie mille per la risposta, penso di non aver capito proprio il funzionamento de lemma di Krasner allora. Mi pareva che bastasse trovare un $M$ generico tale per cui $\nu (a_i - b_i) >M$, mi rivedrò meglio la dimostrazione per capire dove venga utilizzata una condizione su $M$. Ma allora $M$ come lo trovo?
Eh leggendo la dimostrazione del lemma, $M$ dovrebbe essere effettivo. Ad esempio guardati le note di Milne "Algebraic number theory".
"broccolo99":
Poi come fai ad usare Hensel su $x^5-p - p^2$ ?
Sì scusami ovviamente intedevo Eisenstein.
"broccolo99":
Per quanto riguarda il poligono di Newton ho letto qualcosina ma non ho trovato nulla di esaustivo che me lo spiegasse bene, sapresti linkarmi qualcosa?
La pagina di Wikipedia.