Somma dei primi n quadrati

[donald_zeka]

Osservare che:

$sum_(k =1)^10 (-1)^kk^2=55$

Provare più in generale che:

$sum_(k =1)^n (-1)^kk^2=(-1)^n(n(n+1))/2 $

A me è riuscito solo per induzione

[walter.ruggeri.3]

La dimostrazione per induzione è indubbiamente la più semplice e lineare (e dunque, a mio avviso, quella preferibile).
Ma si può ricorrere ad un po' di logica (ed un minimo di conoscenza delle serie) per ottenere una dimostrazione alternativa:

Si osservi intanto che, se $n$ è pari:
$ sum_(k=1)^n ((-1)^kk^2) = -1 + 4 -9+...-(n-1)^2+n^2 $
E se è dispari:
$ sum_(k=1)^n ((-1)^kk^2) = -1 + 4 -9+...-(n-2)^2+(n-1)^2-n^2 $

A questo punto, si noti che, in entrambi i casi, ogni potenza pari $x^2$ e la precedente potenza dispari possono essere raggruppate a due a due in modo tale da formare una differenza di quadrati $(x^2-(x-1)^2)$. Tali raggruppamenti saranno $n/2$ per $n$ pari, $(n-1)/2$ per $n$ dispari.
Dunque, dato che deve essere $1<=k<=n$, è possibile dire che, detto $2k$ il generico elemento pari della serie, si ha $(2k)^2-(2k-1)^2 = 4k-1$.
A questo punto, possiamo riscrivere l'espressione della nostra serie:
- Per $n$ pari: $ sum_(k=1)^n ((-1)^kk^2) = sum_(k=1)^(n/2) (4k-1) = 2n^2/4+n/2 = n(n+1)/2$
- Per $n$ dispari: $ sum_(k=1)^n ((-1)^kk^2) = -n^2 + sum_(k=1)^((n-1)/2) (4k-1) = -n^2+2(n-1)^2/4+(n-1)/2 = -n(n+1)/2$

E dunque la formula proposta risulta dimostrata.