Dimostrare che il rapporto fra due polinomi è costante - Normale di Pisa

[Caradhras]

Salve, vorrei presentare un problema di ammissione alla Normale di Pisa (il sesto del 2009-2010) che non sono riuscito a risolvere (posto tutto il testo, anche se il punto che a me interessa è il c):
Sia $a > 1$ un numero reale assegnato. Per $x > 0$ reale poniamo
$σ(x) =(1-x)/(a+x)$ e $q(x)=σ(σ(x))$:
(a) Dimostrare che $q(x) =(a-1+2x)/(a^2+1+(a-1)x)$
(b) Dimostrare che, posto $s=(sqrt(a^2+2a+5)-a-1)/2$, si ha $ s > 0$ e che, se $0 < x < s$, si ha $x < q(x) < s$
(c) Dimostrare che se $R(x) =(P(x))/(Q(x))$, dove P e Q sono polinomi a coefficienti reali, è tale che $R(x) = R(σ(x))$
identicamente, allora R è costante.
(d) Dire come cambiano queste asserzioni quando $a = 1$.
Io avevo pensato di provare con due strade: la prima era di dimostrare che la derivata di R(x) è 0, ma non vedo come, la seconda di dimostrare che, posto $m=deg(Q(x))$ e $n=deg(P(x))$, $n=m$ e che $q_i=p_i AAi$. Sono riuscito però solo a dimostrare che $(sum_{i=0}^n p_i)/(sum_{j=0}^m q_j)=(p_0)/(q_0)$, risultato che si ottiene calcolando il valore di $R(1)$ e imponendo che sia uguale a $R(σ(1))$. C'è qualcuno che mi sa aiutare?

[hyoukarou]

Più tardi magari ci provo, comunque penso che la soluzione consista nell'osservare che:
\(\displaystyle R(x) = R(\sigma(x)) = R(\sigma(\sigma(x))) = \ldots\).
Un'altra cosa che potrebbe essere utile e che si vede bene è che \(\sigma\) manda una funzione del tipo \(\dfrac{ax + b}{cx + d}\) in una dello stesso tipo.

[Pachisi]

Scusate, ma essendo

\( \displaystyle R(x) = R(\sigma(x)) = R(\sigma(\sigma(x))) = R(q(x))\ldots \),

non segue che \(\displaystyle R(x)\) e` un polinomio costante e, dunque, anche il rapporto tra \(\displaystyle P(x)\) e \(\displaystyle Q(x)\) e` costante?

[Caradhras]

Quindi se ho ben capito intendi che, detto $k=R(x_0)$, i polinomi $P(x)$ e $k*Q(x)$ assumono lo stesso valore per gli infiniti valori diversi $x_0, \sigma(x_0), \sigma(\sigma(x_0))$... e quindi sono identici? Effettivamente penso che sia la strada giusta, però forse per completezza bisognerebbe anche mostrare che la funzione $f_n=\{(f_0=x_0),(\sigma(f_(n-1))):}$ non è periodica, dato che altrimenti il numero di valori per cui vale l'uguaglianza sopra sarebbe limitato e pari al periodo (credo). Comunque come dimostrazione mi sembra fattibile, appena ho un po' di tempo provo. Grazie per l'aiuto!

[Pachisi]

Si, detto in modo piu` formale, e` piu` o meno quello che intendevo. Appena hai tempo puo` scrivere la tua dimostrazione che $ f_n=\{(f_0=x_0),(\sigma(f_(n-1))):} $ non e` periodica, che non saprei come farlo?

[Caradhras]

Per la verità ho scritto che sembra fattibile, ma era una valutazione ad occhio e non sono sicuro di farcela, comunque quando ho tempo provo e nel caso ce la facessi te la scrivo subito.
P.S.: forse sono stato impreciso, credo che più che dimostrare che $f_n$ non è periodica in generale basti mostrare che per un dato valore $x_0$ non lo è.

[Caradhras]

Penso che basti dimostrare che $g_n=\{(g_0=x_0),(g(g_(n-1))):}$ non è periodica per un qualche $x_0$, dato che si ha comunque $R(x)=R(q(x))=R(q(q(x)))...=k$; da questo dovrebbe discendere inolre anche che $f_n$ non è periodica, dato che se lo fosse lo sarebbe anche $g_n$. Che $g_n$ non è periodica credo si dimostri per induzione, osservando che, per quanto dimostrato al punto b), per $0 EDIT: Ho sbagliato a scrivere, è $0

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[Pachisi]

Scusami, ma non dovrebbe essere \(\displaystyle 0

EDIT: Credo di aver capito la mia seconda domanda...

[Caradhras]

Scusa, ho sbagliato a scrivere: era $0

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[0lucat89]

Un altro modo per dimostrare il punto c), cioè che $R(x)=R(\sigma(x))$ per ogni $x$, può essere questo:
Sia per assurdo $R(x) \ne const$, ovvero $P(x)$ non proporzionale a $Q(x)$. Se $P(x)$ non è costante, e se $P(x)$ non è proporzionale a $Q(x)$, allore esiste almeno un $x_0$ che sia radice di $P$ ma non di $Q$, cioè tale che $P(x_0)=0$ e $Q(x_0)\ne 0$. Allora
$$
R(x_0) = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}=0
$$
Scegliendo $a$ in modo che $\sigma(x_0)$ non è radice dei due polinomi $P$ e $Q$ (lo puoi sempre fare visto che le radici formano un insieme numerabile), si trova
$$
R(\sigma(x_0))=\frac{P(\sigma(x_0))}{Q(\sigma(x_0))}\ne 0
$$
che è assurdo, visto che per ipotesi $R(\sigma(x_0))=R(x_0)=0$.
Se invece $P(x)$ è costante e $Q(x)$ non è costante, sia $x_1$ una radice di $Q$, allora si ha che $R(x_1)$ diverge. Scegliendo $a$ in modo che $\sigma(x_1)$ non è radice di $Q$, si ha che $R(\sigma(x_1))$ è finito, altro assurdo. Pertanto $P(x)$ e $Q(x)$ devono essere necessariamente proporzionali, ovvero $R(x) = const$.

[Caradhras]

Ciao, ho qualche dubbio sulla tua risposta: in primo luogo, per ipotesi deve essere $x>0$, per cui non puoi essere certo che uno qualsiasi dei due polinomi si annulli per qualche x (le radici potrebbero essere tutte negative, mentre x è positivo) (e tra l'altro x deve essere reale, mentre il polinomio può anche non avere radici reali); in secondo luogo, essendo $a$ un "numero reale assegnato", non sono sicuro che si possa scegliere in modo che, per esempio, $\sigma(x_0)$ non sia radice di P e Q: bisognerebbe piuttosto dimostrare che qualunque sia $a$ se $P(x_0)=0$ allora $P(\sigma(x_0))!=0$.

[0lucat89]

Non avevo letto la traccia, ma solo dato un'occhiata. Se c'è la restrizione che la proprietà
$$
R(\sigma(x)) = R(x)
$$
vale solo se $x$ è reale e maggiore di zero, naturalmente la dimostrazione che ho dato non va bene. Sembra che in tal caso il teorema fondamentale dell'algebra non sia di molto aiuto...

edit: forse bisogna far uso della forma esplicita di $\sigma(x)$, poi ci penso un po' se trovo il tempo

[hyoukarou]

Ci ho pensato una mezz'oretta, scrivo quello che ho ricavato continuando l'idea iniziale.
Dal punto (b) sappiamo per induzione che se \(0 < x < s\) allora \(0 < x < q(x) < q^2 (x) < \ldots < q^n(x) < s\).
Altra cosa che si ricava con una banale induzione è che \(q^n(x) = \sigma^{2n}(x)\).
Inoltre \(R(x) = R(\sigma(x)) = R(\sigma^2(x)) = \ldots \Rightarrow R(x) = R(q^n(x))\) per ogni \(n \in \mathbb{N}\).

Poniamo \(\displaystyle S = \left \{q^n\left(\frac{s}{2}\right) . n \in \mathbb{N} \right \}\). Siccome \(\displaystyle 0 < \ \frac{s}{2} < s\) avremo che gli elementi di \(S\) sono distinti e quindi infiniti. Perciò \(\displaystyle \forall x \in S . \frac{P(x)}{Q(x)} = k\) per un certo \(k\).

Se \(k = 0\) allora è il numeratore a doversi azzerare ogni volta, quindi \(P(x)\) deve essere il polinomio nullo ed \(R\) con opportune precisazioni sarà anch'esso nullo e dunque costante.

Per \(k \neq 0\) mi è venuta in mente una quasi-soluzione un po' lunghetta.
Sia \(p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0\) e \(q(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_0\) (se i polinomi non sono dello stesso grado poco importa, i termini di testa di uno dei due saranno zero).

L'espressione di prima si traduce ora in un sistema omogeneo di equazioni lineari:
\[ \displaystyle \begin{cases}
x_0^n (kb_n - a_n) + x_0^{n-1} (kb_{n-1} - a_{n-1}) + \ldots + k b_0 - a_0 = 0 \\
x_1^n (kb_n - a_n) + x_1^{n-1} (kb_{n-1} - a_{n-1}) + \ldots + k b_0 - a_0 = 0 \\
\phantom{x_1^n (kb_n - a_n) + x_1^{n-1} (kb_{n-1} - a_{n-1})} \vdots
\end{cases}\]
dove la nostra incognita è il vettore \((kb_n - a_n, kb_{n-1} - a_{n-1}, \ldots, kb_0 - a_0)\) e i coefficienti sono gli \(x_i\), elementi di \(S\). Abbiamo dunque infinite equazioni, quindi mostrando che esistono \(n + 1\) equazioni in cui non ci sono combinazioni lineari, cosa che non ho fatto, si conclude che l'unica soluzione è \((0, 0, \ldots, 0)\), da cui \(a_n = k b_n\) per ogni \(n\), ovvero i due polinomi sono identici a meno di una costante, e quindi il polinomio \(R\) è costante.

Completare quella parte che manca non mi sembra molto difficile(ammesso che io non abbia commesso qualche strafalcione) ma non mi piace come soluzione, spero che qualcun'altro trovi di meglio

P.S. ho impiegato molto più tempo a typare quella roba in latex che a pensarla

[0lucat89]

Si, bisogna far uso dei punti a) e b). Poco fa, svegliandomi, ci ho pensato e mi è venuto in testa questo modo. Considera $q^{(n)}(x)$ definito tale che $q^{(n)}(x)=q(q^{(n-1)}(x))$ e $q^{(1)}(x)=q(x)$, dove $q(x)$ è definito in (a). Siccome, per il punto (b), $q^{(n)}(x) \in (q^{(n-1)}(x),s)$, si ha che

$$
\lim_{n\rightarrow \infty} q^{(n)}(x) = s
$$

Allora è chiaro che, se $R(\sigma(x))=R(x)$, si ha $R(x)=R(s)=const$ per $x\in(0,s)$, ovvero $P(x) = const\times Q(x)$ per $x\in(0,s)$. Siccome $P(x)$ e $Q(x)$ sono polinomi, è chiaro che $P(x) = const\times Q(x)$ per ogni $x\in R$ (per esempio basti pensare che i monomi $\{x^k\}_k$ formano una base in $L^2[0,s]$).
Spero di non aver fatto qualche casino