Sui numeri razionali

[gugo82]

Esercizio (facile):

Sia \(a\in \mathbb{R}\).
Dimostrare che \(a\) è razionale se e solo se tali sono i numeri \(a^{12}\) ed \(a^7\).

[kobeilprofeta]

che $a in QQ$ implichi $a^12,a^7 in QQ$ è banale.
Viceversa:
Se $a$ fosse irrazionale, per diventare alla settima e dodicesima potenza razionale, significa che elevandolo ad un divisore di 7 e 12 diventi razionale. Ma 7 e 12 non hanno divisori in comune, tranne l'1, che significa che $a^1=a$ è razionale.

[gugo82]

Strada più facile:

Come già notato, l'unica implicazione da dimostrare è la \(\Leftarrow\).
Se uno tra \(a^7\) ed \(a^{12}\) è nullo, allora \(a\) è nullo e dunque razionale; pertanto si può sempre supporre \(a^7\neq 0\neq a^{12}\), sicché anche \(a\) è diverso da zero (come tutte le sue potenze).
Dato che \(a^{12} = a^7\cdot a^5\), dall'ipotesi segue che \(a^5\) è razionale; analogamente, dato che \(a^7=a^5\cdot a^2\), da quanto appena scoperto segue che \(a^2\) è razionale; poiché \(a^5=a^3\cdot a^2\), da quanto detto segue che \(a^3\) è razionale; infine, visto che \(a^3=a^2\cdot a\), da quanto già acquisito segue la tesi. \(\square\)