Triangolo equilatero e punto P
Salve, stavo provando a risolvere questo problema:
Assegnata nel piano una unità di misura per le lunghezze ed un punto P, costruire un triangolo equilatero ABC in
modo che P sia interno ad ABC, PA = 2 PB =3 PC = 4
Avevo trovato una soluzione di tipo goniometrico che sfruttava il teorema dei seni, ma mi sembrava troppo lunga e laboriosa. Suggerimenti?
Assegnata nel piano una unità di misura per le lunghezze ed un punto P, costruire un triangolo equilatero ABC in
modo che P sia interno ad ABC, PA = 2 PB =3 PC = 4
Avevo trovato una soluzione di tipo goniometrico che sfruttava il teorema dei seni, ma mi sembrava troppo lunga e laboriosa. Suggerimenti?
Risposte
Nessuno risponde? Allora lo faccio io, anche se la mia soluzione mi soddisfa poco.
Correggimi se sbaglio, ma da quello che dici mi pare che tu abbia calcolato il lato del triangolo equilatero mentre era richiesto di costruirlo, e sono due domande ben diverse. Do quindi due risposte, una per ciascuna domanda.
Calcolare il lato del triangolo equilatero
Il metodo più rapido mi sembra l'analitica; indico il lato con $l$ e scelgo gli assi cartesiani in modo che si abbia $A(-l/2,0);B(l/2,0);C(0,(lsqrt3)/2)$; si ha poi $P(x,y)$. Dai dati ricavo
${((x+l/2)^2+y^2=2^2),((x-l/2)^2+y^2=3^2),(x^2+(y-(lsqrt3)/2)^2=4^2):}$
Sottraendo membro a membro ho due equazioni di primo grado in $x,y$ e ne ricavo queste due incognite; sostituendole in una delle equazioni iniziali ottengo un'equazione biquadratica in $l$. La formula risolutiva è quindi facilissima, ma conviene passare alla calcolatrice per evitare brutte formule. Trovo due soluzioni positive ma calcolando le corrispondenti $x,y$ noto che una sola di queste dà un punto $P$ interno al triangolo, mentre l'altra lo dà esterno e quindi non è accettabile.
Costruire il triangolo equilatero
Premessa
Un teorema poco noto afferma che dati due punti $A,B$ ed un numero positivo $k$, il luogo dei punti $P$ tali che $PA:PB=k$ è una circonferenza il cui centro sta sulla retta $AB$. Non ne ricordo la dimostrazione in geometria sintetica, ma lo dimostri molto facilmente con l'analitica (prendi quella retta come asse $x$).
Per disegnare quel luogo puoi quindi prendere sulla retta $AB$ i due punti $R_1,R_2$ per cui si ha $R_iA:R_iB=k$ (uno è interno al segmento $AB$ e l'altro gli è esterno): $R_1R_2$ è il diametro della circonferenza.
Costruzione
Disegno un triangolo equilatero qualsiasi $A'B'C'$; utilizzando quanto detto nella premessa disegno la circonferenza per cui si ha $PA':PB'=2/3$ e quella per cui $PB':PC'=3/4$. Queste due circonferenze si incontrano in due punti, e chiamo $P$ quello interno al triangolo equilatero.
Ho così ottenuto una figura simile a quella voluta; completo tracciando le semirette $PA',PB',PC'$ e prendendo sulla prima $PA=2$. La parallela per $A$ ad $A'B'$ incontra $PB'$ in $B$; analogo per $C$.
Correggimi se sbaglio, ma da quello che dici mi pare che tu abbia calcolato il lato del triangolo equilatero mentre era richiesto di costruirlo, e sono due domande ben diverse. Do quindi due risposte, una per ciascuna domanda.
Calcolare il lato del triangolo equilatero
Il metodo più rapido mi sembra l'analitica; indico il lato con $l$ e scelgo gli assi cartesiani in modo che si abbia $A(-l/2,0);B(l/2,0);C(0,(lsqrt3)/2)$; si ha poi $P(x,y)$. Dai dati ricavo
${((x+l/2)^2+y^2=2^2),((x-l/2)^2+y^2=3^2),(x^2+(y-(lsqrt3)/2)^2=4^2):}$
Sottraendo membro a membro ho due equazioni di primo grado in $x,y$ e ne ricavo queste due incognite; sostituendole in una delle equazioni iniziali ottengo un'equazione biquadratica in $l$. La formula risolutiva è quindi facilissima, ma conviene passare alla calcolatrice per evitare brutte formule. Trovo due soluzioni positive ma calcolando le corrispondenti $x,y$ noto che una sola di queste dà un punto $P$ interno al triangolo, mentre l'altra lo dà esterno e quindi non è accettabile.
Costruire il triangolo equilatero
Premessa
Un teorema poco noto afferma che dati due punti $A,B$ ed un numero positivo $k$, il luogo dei punti $P$ tali che $PA:PB=k$ è una circonferenza il cui centro sta sulla retta $AB$. Non ne ricordo la dimostrazione in geometria sintetica, ma lo dimostri molto facilmente con l'analitica (prendi quella retta come asse $x$).
Per disegnare quel luogo puoi quindi prendere sulla retta $AB$ i due punti $R_1,R_2$ per cui si ha $R_iA:R_iB=k$ (uno è interno al segmento $AB$ e l'altro gli è esterno): $R_1R_2$ è il diametro della circonferenza.
Costruzione
Disegno un triangolo equilatero qualsiasi $A'B'C'$; utilizzando quanto detto nella premessa disegno la circonferenza per cui si ha $PA':PB'=2/3$ e quella per cui $PB':PC'=3/4$. Queste due circonferenze si incontrano in due punti, e chiamo $P$ quello interno al triangolo equilatero.
Ho così ottenuto una figura simile a quella voluta; completo tracciando le semirette $PA',PB',PC'$ e prendendo sulla prima $PA=2$. La parallela per $A$ ad $A'B'$ incontra $PB'$ in $B$; analogo per $C$.
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