$f(x f(y) - f(x)) = 2 f(x) + xy$

[Gi81]

Trovare tutte le funzioni $f : RR -> RR$ tali che per ogni $x,y in RR$ si abbia $f( x f(y) - f(x)) = 2 f (x) + xy$

[dan952]

La soluzione $f(x)=1-x$ soddisfa l'equazione funzionale
\begin{equation}
f(xf(y)-f(x))=2f(x)+xy
\end{equation}
vogliamo dimostrare che è unica.

Mostriamo che $f(0)=0$ o $f(0)=1$, infatti sostituendo $x=1$ e $y=-2f(1)$ alla (1) otteniamo $f(f(-2f(1))-f(1))=0$, e sostituendo $x=1$ e $y=-2f(1)+1$ otteniamo $f(f(-2f(1)+1)-f(1))=1$, siano quindi $p=f(-2f(1))-f(1)$ e $q=f(-2f(1)+1)-f(1)$, abbiamo che
\begin{equation}
f(pf(q)-f(p))=f(p)=0=pq
\end{equation}
Quindi $p=0$ o $q=0$, da cui la tesi.

A questo punto ci sarà utile osservare che sostituendo $x=y=1$ otteniamo l'uguaglianza
\begin{equation}
f(0)=2f(1)+1
\end{equation}

Se $f(0)=0$ allora per la (3) $f(1)=-1/2$, da cui sostituendo alla (1) $x=1$ e $y=0$ otteniamo $f(1/2)=-1$, a questo punto sostituendo $x=1/2$ e $y=1/2$ si ha $f(1/2)=-7/4$, assurdo.

Se $f(0)=1$ allora $f(1)=0$, andando a sostituire $x=1$ otteniamo
\begin{equation}
f(f(y))=y
\end{equation}
la (4) suggerisce che $f$ è iniettiva e che sostituendo $x=f(x)$ e $y=1$ alla (1) otteniamo
\begin{equation}
f(-x)=2x+f(x)
\end{equation}
da cui $f(-1)=2$ e quindi dalla (4) $f(2)=-1$ quindi sostituendo alla (5) $x=x+f(x)$ si ha
\begin{equation}
2(x+f(x))+f(x+f(x))=f(-x-f(x))=f(f(2)x-f(x))=2f(x)+2x
\end{equation}
Ovvero $f(x+f(x))=0=f(1)$ che per iniettività si ha $f(x)+x=1$, da cui la tesi.

[dan952]

C'è un errore appena ho tempo lo risolvo