Terne di numeri

[banabinomio]

Salve, vi vorrei gentilmente chiedere aiuto per questo problema di ammissione per la scuola galileiana (domanda 14, test di attitudine scientifica anno 2018)
Quante sono le terne (a, b, c) tali che a, b, c ∈ {1, ..., 50}, a < b < c e
b − a = c − b?
(a) 576
(b) 500
(c) 480
(d) 600

risposta giusta d
Bene io ho proceduto nel seguente modo.
Manipolo algebricamente e trovo la relazione $2b=a+c$. Ora considero diversi valori di b e di n terne:
b=1 non ha terne che soddisfano a b=2 n=1 (3+1=4=2b)
b=3 n=2 (5+1 e 4+2)

Da cui ricavo che n=b-1
ora n totale = N
N=$(\sum_{b=2}^26 b-1)-1$
Il -1 è dovuto al fatto che per il valore b=26 avrei una terna con un valore di c che non appartiene all'insieme ossia :
b=26, 2b=52=51+1 e quindi 51=c non devo contarlo
ora la sommatoria la riscrivo come
N=$(\sum_{b=2}^26 b)-25-1$
uso la formula n(n-1)/2
N=$26*25/2-1-26=298$ ma la risposta è errata
Grazie a chi vorrà aiutarmi

[axpgn]

Le terne sono in progressione aritmetica.

Quindi avrai terne la cui ragione varia da $1$ a $24$.

Le prime saranno $48$, le seconde saranno, $46$, ecc.

Ovvero $2*sum_(i=1)^24 i = 2*(24*25)/2=600$

Cordialmente, Alex

[banabinomio]

Ciao grazie mille per la risposta precisa e puntuale, tuttavia ti sarei molto grato se potesse trovare dove sta l'errore nel mio procedimento perché ovviamente il tuo è giusto ma non riesco proprio a capire il punto che mi ha portato in errore. Grazie ancora

[axpgn]

E chi l'ha detto che $b$ si deve fermare a $26$ ? E allora la terna $45-47-49$ ?
Ritengo concettualmente sbagliata l'impostazione iniziale che hai dato, ti ha fatto perdere di vista metà delle soluzioni.
IMHO

Cordialmente, Alex

[banabinomio]

Grazie hai ragione, mi sono perso esattamente metà delle soluzioni. Proprio non riuscivo a vederle avendo impostato il problema in quel modo. Grazie ancora e buona giornata!