Area di un triangolo

[axpgn]

Dimostrare, senza usare la trigonometria, che se un triangolo ha un angolo $alpha$ pari a $60°$, allora la sua area è $A=sqrt(3)/4[a^2-(b-c)^2]$ mentre se ha un angolo $alpha$ pari a $120°$, allora la sua area è $A=sqrt(3)/12[a^2-(b-c)^2]$, dove $a, b, c$ sono i lati e $a$ è il lato opposto all'angolo $alpha$.


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Do una soluzione decisamente banale.

Tracciata l'altezza CH, osservando il mezzo triangolo equilatero e poi applicando Pitagora ho
$CH=(b sqrt3)/2$
$HB=|AB-AH|=|c-b/2|$
$a^2=CH^2+HB^2=(3b^2)/4+c^2-bc+b^2/4=b^2+c^2-bc=(b-c)^2+bc$
da cui $bc=a^2-(b-c)^2$
L'area è quindi
$S=1/2 AB*CH=1/2c*(b sqrt3)/2=sqrt3/4bc=sqrt3/4[a^2-(b-c)^2]$

Soluzione analoga per l'angolo di 120°; qui $bc$ viene ricavato da
$a^2=(b-c)^2+3bc$

Direi però che, a meno di una soluzione completamente diversa, siamo nell'ambito del CCCS (=Come Complicare Cose Semplici): per calcolare l'area bastava la $S= sqrt3/4bc$

[@melia]

Non ho visto interventi, allora, anche se ho poco tempo provo a rispondere al primo quesito.

In un triangolo con la notazione ordinaria, cioè dove l'angolo $alpha$ è nel vertice A e la misura dei lati viene individuata dalla lettera minuscola del vertice opposto.
Indicato con $bar(AB) = c$ la base e con $CH$ l'altezza, con Pitagora si ricava $bar(CH)=b*sqrt3/2$, $bar(AH)=b/2$ e $bar(HB)=c-b/2$, inoltre l'area vale $A=bc*sqrt3/4$
Il triangolo CHB è rettangolo in H, per cui vale il teorema di Pitagora
$CB^2=CH^2+HB^2$ che con i dati noti diventa $a^2=(b*sqrt3/2)^2+(c-b/2)^2$ con un po' di conti
$a^2=b^2-bc+c^2$, ricavo $bc$
$bc=b^2+c^2-a^2$
Sostituendo nell'area
$A=sqrt3/4*(b^2+c^2-a^2)$ aggiungo e sottraggo $2bc$

$A=sqrt3/4*(b^2+c^2-a^2+2bc-2bc)=sqrt3/4*[b^2+c^2-a^2+2bc-2(b^2+c^2-a^2)]=$

$= sqrt3/4*[b^2+c^2-a^2+2bc-2b^2-2c^2+2a^2]=$

$=sqrt3/4*[a^2-(b^2+c^2-2bc)]=sqrt3/4*[a^2-(b-c)^2]$ cvd

Pensavo che l'altro fosse simile, ma mi sono impantanata. Magari con un po' di tempo...

[axpgn]

"giammaria":Direi però che, a meno di una soluzione completamente diversa, siamo nell'ambito del CCCS (=Come Complicare Cose Semplici): per calcolare l'area bastava ...

Ma il quesito non chiedeva di trovare la soluzione più semplice o più efficiente o più ... semplicemente chiede di dimostrare che quelle due formule sono valide; è tutt'altra cosa

Le vostre sono corrette però ce n'è una più ... carina

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ecco la soluzione "carina"

Se uno degli angoli di un triangolo è pari a $60°$ allora la somma degli altri due è pari a $120°$, quindi accostandoli opportunamente come in un "girotondo", ottengo un esagono regolare di lato $a$, con un buco esagonale regolare di lato $b-c$.
Fatto



Analoga dimostrazione per l'angolo di $120°$ (usando triangoli equilateri)

Cordialmente, Alex