Giochi Matematici
Discussioni sulla risoluzione di giochi matematici.
Domande e risposte
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Costruiamo un triangolo che è meta di un quadrato.
Sulla diagonale di lunghezza,ovvia, $sqrt2$ costruiamo un segmento perpendicolare ad essa di lunghezza 1.Otteniamo così un ipotenusa di misura $sqrt3$.Su questa ipotenusa,sempre dallo stesso lato su cui avevamo costruito precedentemente il segmento, ne custruiamo un altro sempre perpendicolare e di lunghezza 1.Iterando l procedimento si ottiene una spirale.Calcolare la superficie di questa spirale in funzione del numero di ...
Chi lo risolve?
Data una superficie a forma di cono circolare retto con raggio di base $R$ e altezza $R\sqrt3$, determinare la probabilità che presi a caso due suoi punti, la loro distanza, definita come lunghezza del percorso più breve sulla superficie, sia inferiore a $R$.
Buon divertimento!
Determinare ogni coppia ordinata di insiemi $A, B \subseteq \mathbb{Z}$ tali che i) $A \cup B = \mathbb{Z}$; ii) se $a \in A$, allora $(a-1) \in B$; iii) se $a, b \in B$, allora $(a+b) \in A$ (le tre condizioni si intendono contemporaneamente soddisfatte).
Un curioso problema, sia geometrico che probabilistico,
Data una sfera di raggio $r$ siano fissati a caso sulla sua superficie due punti $A$ e $B$, dato $d<=pi r$ qual è la probabilità che la distanza di $A$ e $B$ sulla sfera, cioè l'arco minimo di cerchio massimo passante per $A$ e $B$, sia $<=d$?
Ciao!
1) Facendo uso del principio di induzione, provare che
$1-x/(1!)+(x(x-1))/(2!)-(x(x-1)(x-2))/(3!)+…+(-1)^n(x(x-1)(x-2)* * * (x-n+1))/(n!)=(-1)^n((x-1)(x-2)* * *(x-n))/(n!)$
per ogni intero $n$ positivo.
2) Verificare, utilizzando il principio di induzione, la seguente disuguaglianza
$1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(3n+1)>1$
per ogni numero naturale $n$.
3) Provare che per qualsiasi intero $n$,
$n^9-6n^7+9n^5-4n^3$
è divisibile per $8640$.
4) Provare che non esiste una tripletta di primi nella forma $p, p+2, p+4$ oltre a $3, 5, 7$.
5) ...
Calcolare $sum_{i=0}^{n}[sqrt(2)i]$ dove con [x] si indica la parte intera di x.
Dire se esistono infiniti primi della forma $n^2-n+1$
Dato la parabola di equazione $y=ax^2+bx+c$ trovare il fascio di tutte e sole le circonferenze tangenti internamente alla parabola .
Successivamente trovare il fascio di tutte le altre circonferenze tangenti alla parabola.
Ciao!
Innanzitutto ciao a tutti! Sono un nuovo iscritto anche se ero iscritto tempo fà al sito ma non ho mai scritto sul forum..
Mi trovo qui tra voi perchè credo di condividere le vostre passioni... e spero di trovare delle persone con cui discutere o chiacchierare di ciò che ci accomuna.. e magari da cui trarre qualche aiuto anche per i miei studi..
Sono uno studente di ingegneria informatica all'univerità di pisa...
Ok, detto questo, giusto come presentazione, vorrei porvi un quesito che ...
Per $|x|<1$ definiamo la funzione $f$ come
$f(x)=sum_(n=0)^infty {a^nx^(a^n-1)}/(1+x^(a^n))$
dove $a>1$ è un intero.
Dimostrare la curiosa proprietà $f'(x)=f^2(x)$
EDIT: mi sono accorto solo adesso di aver messo un - invece del +, adesso ho corretto, comunque nessuno ha qualche idea?
Ciao!
Dimostrare che esistono due nemeri irrazionali a e b, tali che a^b sia razionale.
Platone
Dimostrare che per ogni $N,k in NN$ con $N>0$ e $k<N$ si ha:
$sum_{n=0}^{N}((N),(n))((n),(k))( -) ^{n-k}$
(corretto)
Sia $P_k(n)$ con $k<=n$ il numero di modi in cui si può ripartire $n$ in $k$ interi positivi.
Dimostrare che per ogni $n$ si ha
$(-1)^n=P_1(n)-P_2(n)+P_3(n)-...+-P_(n-1)(n)$
ad esempio
$1=P_1(2)$
$-1=P_1(3)-P_2(3)=1-2$
$1=P_1(4)-P_2(4)+P_3(4)=1-3+3$
$-1=P_1(5)-P_2(5)+P_3(5)-P_4(5)=1-4+6-4$
.....
Ciao!
PS dimenticavo, dimostrare il tutto senza ricorrere a formule esplicite per $P_k(n)$, che ne so con i coefficienti binomiali o simili...
UK-IMO: sia $X \subseteq \mathbb{Q}$ tale che i) $1/2 \in X$; ii) $1/(x+1), x/(x+1) \in X$, per ogni $x \in X$. Mostrare che allora $X \supseteq ]0, 1[ \cap \mathbb{Q}$.
EDIT: in realtà devo apportare una piccola correzione alla traccia originale del problema: più che esserci uguale, l'insieme X contiene l'intersezione dell'intervallo $]0,1[$ con i razionali.
EDIT: ho modificato il titolo del topic, che ancora conteneva un riferimento all'uguaglianza inizialmente postulata dalla traccia (poi ...
Preso un valore $k$ preso da un insieme $S$di tutti i numeri naturali compresi tra due valori $a$ e $b$.
Quante sono i valori di $k$ per cui anche $phi(k)$ è compreso nell'insieme $S$, dove $phi(k)$ è la funzione totiente di eulero.
P.sQUesto problema l'ho inventato io e la soluzione non la conosco.Anyway,se è assurdo o banale avvertitemi....
Mostrare che ogni numero intero positivo può essere scritto come somma di distinti numeri primi
(Per questo quesito, si assuma che uno sia un numero primo!!)
L'esercizio (del Larson) iniziava con un aiuto, ma vista la bravura di molti risolutori di questo forum l'ho volutamente omesso cmq al massimo lo posterò dopo.
Sia $k>=1$ un numero naturale. Determinare in funzione di $k$ il numero di interi positivi $n$ con le seguenti proprietà:
a) in base dieci si scrivono con $k$ cifre, tutte dispari;
b) sono divisibili per 5, e il quoziente $n/5$, scritto in base dieci, ha ancora $k$ cifre, tutte dispari.
Questo è un esercizio della gara di secondo livello delle olimpiadi di matematica di quest'anno (che si sono svolte il 16 ...
per dimostrarvi che un pò di matematica la mastico vi propongo dua quesiti,cosa che oggi ho fatto durante gli intervalli tra una lezione e l'altra (cioe in una mezz'oretta):
$a^n-b^n=(a-b)*f_n(a,b)$ trovare f(a,b)$ <br />
<br />
(si consiglia di almeno provarci da soli in modo da poter confrontare il procedimento sennò non avrebbe senso)<br />
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e di usarla per dimostrare che: per ogni s,t $in mathbb{N} a=s^2+t^2, b=t^2-s^2, c=2st$ sono terne a,b,c 'pitagoriche'.
Dimostrare che per ogni primo $p$ esistono tre numeri $x, y, z$ e un numero $0<w<p$ tali che
$x^2+y^2+z^2=wp$
preso da: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=74603
dimostrare che se f(x)=f(-x) allora in 0 f'(0)=0 oppure f(x) non è derivabile in 0.
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