Giochi Matematici
Discussioni sulla risoluzione di giochi matematici.
Domande e risposte
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Sia $\omega(n)$ il numero dei divisori primi interi positivi di $n$, per ogni $n \in ZZ\setminus\{0\}$. Posto $\omega(0) = 0$ per comodità, tramite argomenti elementari, e in particolare senza ricorso al teorema di Dirichlet (sui primi nelle progressioni aritmetiche), dimostrare che, per ogni polinomio non costante $P \in ZZ[x]$, l'insieme $\{\omega(P(n)): n \in \mathbb{N}\}$ è illimitato.
Per ogni primo $p$ mostrare che esiste un tirangolo di lati di lunghezze $a,b,p$ tali che $a=k^2$ e $b=2^n$ con $n,k in NN$
Sempliciotto
Qui Crook ha suggerito - e pare vl4d l'abbia dimostrato - che, per ogni intero $n \ge 0$: $((2n),(n)) \le 4^n/sqrt(3n+1)$. Ebbene, nel tentativo di risolvere il problema a modo mio, ne ho tirato fuori - come è tipico che accada in questi casi... - un risultato semplice, che però tanto mi piace. Se riuscirà a resistere ai vostri attacchi, vorrà dire che proporrò anche questo per una pubblicazione sulle pagine dell'AMM.
Problema: mostrare che non esistono polinomi $P, Q$ a ...
Determinare il comportamento di $prod_(n=1)^(infty)(sin(z/n))/(z/n)$ al variare di $zinRR$.
Un facile esercizio. Sia $p(x)$ un polinomio di grado dispari e a coefficienti reali. Dimostrare algebricamente (i.e., senza usare i teoremi dell'analisi) che $p(x)$ ha una radice reale.
In ogni casella di una tabella $n$x$n$ con $n=2p+1$ ($p in ZZ$) si può scrivere il numero $+1$ o $-1$. Si dimostri che la somma dei prodotti di tutti i numeri delle righe con quelli delle colonne non è mai uguale a $0$
Spero sia abbastanza chiaro
dimostrare che se l'equazione $x^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0=0$ ammette radici reali, allora tra due di esse giace almeno una radice dell'equazione $nx^(n-1)+a_(n-1)(n-1)x^(n-2)+...+a_1=0$
Provare che per ogni primo $p>=5$,
$sum_(1<=i<j<=p-1)ij-=0(modp)$, e
$sum_(1<=i<j<k<=p-1)ijk-=0(modp)$.
alla fine mi sembra la sezione più adatta questa...
verificare che la funzione $x^3-2x-5$ ammette uno e un solo zero nell'intervallo [2,3]
visto che era troppo scontato ragionare sul fatto che la funzione sia crescente in questo intervallo studiando il segno della derivata prima,
ho ragionato in questi termini:
per assurdo ipotizziamo che la funzione ammetta due zeri x1,x2, quindi nell'intervallo x1,x2 può essere applicato il th di rolle.
però la ...
Salve a tutti, mi stò scervellando su un rompicapo probabilmente semplice...ma che mi da molti problemi. Vi chiedo un aiuto!!!!!!
Dati i seguenti numeri 2, 4, 8, 10, 5, 6 .... combinandoli con 8 (otto) operazioni si deve ottenere il seguente risultato approssimato alla prima cifra decimale: 110129,4
Sono da utilizzare tutti e sei i numeri e sono sfruttabili tutte le operazioni conosciute...log..elevazioni a potenza ecc...ma massimo 8.
Chi riuscisse a trovare il calcolo....si faccia ...
il professore ci ha fatto un indovinello:
un padre dice ad un figlio: 7 anni or sono la mia età è 7 volte la tua, mentre tra 3 anni sarà il triplo della tua.
Qual'è l'età del padre? e del figlio?
HELP!!!
Sia $|p|<1$, calcolare
$int_0^(+infty)cos(px)/cosh(x)dx$.
Essendo $q$ un intero $\ge 2$, mostrare che $n = 2^q + 1$ è primo se e soltanto se $3^{(n-1)/2} \equiv -1 $ mod n.
Sia a un numero naturale positivo qualsiasi (escluso lo zero) e n il precedente del doppio di a.
Dimostrare che per ogni valore di a $a*n$ è uguale alla somma dei numeri naturali fino a n.
Ex.:
$a=10$
$n=20-1=19$
$10*19=0+1+2+3+4.....+19$
Per ogni intero $n \ge 1$, sia posto $1 + 1/2 + ... + 1/n = a_n/b_n$, dove $a_n, b_n$ sono interi positivi coprimi fra loro. Mostrare che esistono infiniti $n \in NN^+$ tali che né $a_n$ né $b_n$ siano potenza di numeri primi.
Ciao a tutti, una domanda: quanti di voi possiedono, hanno letto, o conoscono il libro SCHEDE OLIMPICHE di Massimo Gobbino? Ho letto che è una buona lettura non solo per chi è interessato a competizioni matematiche, ma anche per un normale studente liceale. Se qualcuno conosce questo libro mi farebbe piacere sentire che ne pensa. Ciao e buon fine settimana.
Da Mathematics Magazine: se $k \in NN^+$, esiste una qualche sequenza di $k$ interi consecutivi $> 0$ tali che, comunque scelti due termini della sequenza, il numero dei loro divisori primi interi positivi sia diverso?
Mostrare che $sigma(24n-1)$ (dove $sigma$ è la funzione sommatoria dei divisori) è sempre divisibile per $24$, con $n in NN$.
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