Analitica!!
Dato la parabola di equazione $y=ax^2+bx+c$ trovare il fascio di tutte e sole le circonferenze tangenti internamente alla parabola 
.
Successivamente trovare il fascio di tutte le altre circonferenze tangenti alla parabola.
Ciao!
.Successivamente trovare il fascio di tutte le altre circonferenze tangenti alla parabola.
Ciao!
Risposte
Forse e' solo un'imprecisione di blackdie ma le circonferenze richieste
(sia interne che qualunque) non formano un fascio.Infatti per definizione un
fascio di circonferenze e' formato da circonferenze tutte passanti per due
punti (reali o immaginari) con i centri allineati su una retta (asse centrale) perpendicolare alla congiungente i due punti (asse radicale). Ed e' chiaro che le infinite circonferenze tangenti alla parabola non possono tutte avere queste proprieta'.
Pertanto l'equazione richiesta dipendera' in modo non lineare non da un
solo parametro ma da due .
Per trovarla senza fare troppi calcoli si puo' osservare che,detto (u,v) il generico
punto delle parabola, le curve richieste appartengono alla schiera ( non fascio) determinata dalla circonferenza di raggio nullo e di centro (u,v) e dalla tangente alla parabola
nel medesimo punto.Ne segue che l'equazione e':
$(x-u)^2+(y-v)^2+lambda[y-v-(2au+b)(x-u)]=0$
con la condizione $v=au^2+bu+c$
Per avere poi tra queste circonferenze quelle tangenti internamente occorre
distinguere 2 casi:
1)a>0
deve essere $Y_(gamma)>aX_(gamma)^2+bX_(gamma)+c$
2)a<0
deve essere $Y_(gamma)
dove $X_(gamma),Y_(gamma)$ sono le coordinate del centro di una qualsiasi circonferenza
$gamma$ della schiera.
Il problema e' troppo generico per poter essere accompagnato dai relativi calcoli
ed inoltre puo' essere affrontato anche in altri modi.
Archimede
(sia interne che qualunque) non formano un fascio.Infatti per definizione un
fascio di circonferenze e' formato da circonferenze tutte passanti per due
punti (reali o immaginari) con i centri allineati su una retta (asse centrale) perpendicolare alla congiungente i due punti (asse radicale). Ed e' chiaro che le infinite circonferenze tangenti alla parabola non possono tutte avere queste proprieta'.
Pertanto l'equazione richiesta dipendera' in modo non lineare non da un
solo parametro ma da due .
Per trovarla senza fare troppi calcoli si puo' osservare che,detto (u,v) il generico
punto delle parabola, le curve richieste appartengono alla schiera ( non fascio) determinata dalla circonferenza di raggio nullo e di centro (u,v) e dalla tangente alla parabola
nel medesimo punto.Ne segue che l'equazione e':
$(x-u)^2+(y-v)^2+lambda[y-v-(2au+b)(x-u)]=0$
con la condizione $v=au^2+bu+c$
Per avere poi tra queste circonferenze quelle tangenti internamente occorre
distinguere 2 casi:
1)a>0
deve essere $Y_(gamma)>aX_(gamma)^2+bX_(gamma)+c$
2)a<0
deve essere $Y_(gamma)
dove $X_(gamma),Y_(gamma)$ sono le coordinate del centro di una qualsiasi circonferenza
$gamma$ della schiera.
Il problema e' troppo generico per poter essere accompagnato dai relativi calcoli
ed inoltre puo' essere affrontato anche in altri modi.
Archimede
mi si perdoni quest'imprecisione...in effetti io intendeo le circonferenze tangenti internamenti alla parabola in due punti,quindi quelle con l'asse centrale coincidente con l'asse di simmetria...
Cosi' e' tutt'altro problema, assai piu' facile.
Ne lascio la risoluzione a qualche altro volenteroso.
Ciao.
Archimede
Ne lascio la risoluzione a qualche altro volenteroso.
Ciao.
Archimede
aspetterò anch'io....però se non ci sara nessun volenteroso, aspetto la tua soluzione archimede!
Sia A(u,v) il generico punto della parabola e $B(-b/a-u,v)$ il suo simmetrico rispetto
all'asse della stessa.Le circonferenze richieste risultano bitangenti alla parabola
nei punti A e B e pertanto appartengono al fascio individuato dalla parabola
e dalla retta AB contata 2 volte e cioe':
$ax^2+bx+c-y+k(y-v)^2=0$ con la condizione $v=au^2+bu+c$
Sviluppando ed eliminando la v si ha:
$ax^2+ky^2+bx-[1+2k(au^2+bu+c)]y+k(au^2+bu+c)^2+c=0$
Le circonferenze di tale fascio si ottengono per k=a e dunque esse sono:
$ax^2+ay^2+bx-[1+2a(au^2+bu+c)]y +a(au^2+bu+c)^2+c=0$
e dipendono chiaramente dal punto A(u,v) che si sceglie.
Vi sono anche altri metodi di risoluzione ma molto piu' faticosi e...calcolosi.
Archimede
all'asse della stessa.Le circonferenze richieste risultano bitangenti alla parabola
nei punti A e B e pertanto appartengono al fascio individuato dalla parabola
e dalla retta AB contata 2 volte e cioe':
$ax^2+bx+c-y+k(y-v)^2=0$ con la condizione $v=au^2+bu+c$
Sviluppando ed eliminando la v si ha:
$ax^2+ky^2+bx-[1+2k(au^2+bu+c)]y+k(au^2+bu+c)^2+c=0$
Le circonferenze di tale fascio si ottengono per k=a e dunque esse sono:
$ax^2+ay^2+bx-[1+2a(au^2+bu+c)]y +a(au^2+bu+c)^2+c=0$
e dipendono chiaramente dal punto A(u,v) che si sceglie.
Vi sono anche altri metodi di risoluzione ma molto piu' faticosi e...calcolosi.
Archimede
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