Strana funzione

[carlo232]

Per $|x|<1$ definiamo la funzione $f$ come

$f(x)=sum_(n=0)^infty {a^nx^(a^n-1)}/(1+x^(a^n))$

dove $a>1$ è un intero.

Dimostrare la curiosa proprietà $f'(x)=f^2(x)$

EDIT: mi sono accorto solo adesso di aver messo un - invece del +, adesso ho corretto, comunque nessuno ha qualche idea?

Ciao!

[carlo232]

"carlo23":Per $|x|<1$ definiamo la funzione $f$ come

$f(x)=sum_(n=0)^infty {a^nx^(a^n-1)}/(1+x^(a^n))$

dove $a$ è un intero.

Dimostrare la curiosa proprietà $f'(x)=f^2(x)$

EDIT: mi sono accorto solo adesso di aver messo un - invece del +, adesso ho corretto, comunque nessuno ha qualche idea?

Ciao!

Vabbeh, posto la soluzione.

Questo è un tipico problema controintuitivo, per trovre una proprietà della derivata bisogna integrare!

Abbiamo

$int f(x) dx=sum_(n=0)^infty ln(1+x^(a^n))$

quindi

$int f(x)dx=ln prod_(n=0)^infty (1+x^(a^n))$

ricordiamo che $a$ è intero e che ogni numero si può scrivere come somma di potenze di $a$ in un unico modo, da cui

$prod_(n=0)^infty (1+x^(a^n))=1+x+x^2+x^3+...=1/(1-x)$

quest'ultima si può anche dimostrare facendo il limite dei prodotti parziali. Quindi

$int f(x) dx=-ln(1-x)$

$f(x)=1/(1-x)$

$f'(x)=1/(1-x)^2$

da cui segue la tesi.

Ciao!

[eafkuor1]

Penso che non aver mai studiato gli integrali seriamente pregiudichi la possibilità di risolvere questo problema
Un altro capitolo e ci arrivo

[Cecil_Hollorand]

Ciao Carlo23, avevo pensato anch'io di integrare, ed ero arrivato a questo punto, dove mi sono bloccato:
$prod_(n=0)^infty (1+x^(a^n))=1+x+x^2+x^3+...
Mi spiegheresti questo passaggio?
CIAO e complimenti!

[eafkuor1]

https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... highlight=

[Cecil_Hollorand]

Grazie eafkuor! Questo corrisponde, se non sbaglio, al caso a=2... e se a è diverso da 2?
Ciao!

[Cecil_Hollorand]

Ieri sera ho meditato sulla questione... e ho pensato che se, ad esempio, $a=3$:
$P(k)=prod_(n=0)^k(1+x^(3^n))$
$P(0)=1+x$
$P(1)=1+x+x^3+x^4$
$P(2)=1+x+x^3+x^4+x^9+x^(10)+x^(12)+x^(13)$
E mi sembra che la serie abbia dei "buchi" e quindi non converga a $1/(1-x)$ ma ad $1/(1-x)$ meno la sommatoria del valore di tutte le potenze mancanti.
Se poi consideriamo il caso generale:
$P(k)=prod_(n=0)^k(1+x^(a^n))$
E scriviamo:
$P(2)=1+x+x^a+x^(a+1)+x^(a^2)+x^(a^2+1)+x^(a^2+a)+x^(a^2+a+1)$
Vediamo che gli esponenti, ragionando in base $a$ per comodità, hanno necessariamente dei "buchi" nella loro sequenza, a meno che $a=2$
Che ne dite?

[Sk_Anonymous]

Infatti è come dici tu, Cecil. Pare che il nostro carlo23 ne abbia combinata un'altra delle sue...

[carlo232]

"HiTLeuLeR":Infatti è come dici tu, Cecil. Pare che il nostro carlo23 ne abbia combinata un'altra delle sue...

Che gaffe

[eafkuor1]

si infatti anche a me la cosa puzzava un pochino, ma ho pensato che era meglio stare zitto