Ogni n, p t.c. p, p+2, $2^n+p$ e $2^n+p+2$ siano primi

[Sk_Anonymous]

Determinare ogni primo naturale $p$ per cui esiste un qualche intero $n \ge 0$ tale che $p+2$, $2^n + p$ e $2^n + p + 2$ siano tutti contemporaneamente primi.

EDIT: corretto il titolo del topic.

[carlo232]

"DavidHilbert":Determinare ogni primo naturale $p$ per cui esiste un qualche intero $n \ge 0$ tale che $p+2$, $2^n + p$ e $2^n + p + 2$ siano tutti contemporaneamente primi.

Supponiamo $p>3$, se $p -= 1 mod 3$ allora $3|p+2 >3$ da cui $p -= 2 mod 3$ però $2^n+2 -= -2^n ne 0 mod 3 forall n$ per cui o $p+2^n$ o $p+2^n+2$ è divisibile per $3$ e $p$ non può soddisfar le ipotesi.
Allora $p=3$ e si trova che $n=3$ soddisfa le ipotesi.

[Sk_Anonymous]

"carlo23":Supponiamo $p>3$, se $p -= 1 mod 3$ allora $3|p+2 >3$ da cui $p -= 2 mod 3$ però $2^n+2 -= -2^n ne 0 mod 3 forall n$ per cui o $p+2^n$ o $p+2^n+2$ è divisibile per $3$ e $p$ non può soddisfar le ipotesi.
Allora $p=3$ e si trova che $n=3$ soddisfa le ipotesi.

Come escludi che esistano interi $n > 3$ per cui $2^n + 3$ e $2^n+5$ siano entrambi primi?

[carlo232]

"DavidHilbert":[quote="carlo23"]Supponiamo $p>3$, se $p -= 1 mod 3$ allora $3|p+2 >3$ da cui $p -= 2 mod 3$ però $2^n+2 -= -2^n ne 0 mod 3 forall n$ per cui o $p+2^n$ o $p+2^n+2$ è divisibile per $3$ e $p$ non può soddisfar le ipotesi.
Allora $p=3$ e si trova che $n=3$ soddisfa le ipotesi.

Come escludi che esistano interi $n > 3$ per cui $2^n + 3$ e $2^n+5$ siano entrambi primi?[/quote]

Non lo escudo, forse ho frainteso ma non mi sembra che il problema chieda di pronunciarsi riguardo l'unicità di $n$.

[Sk_Anonymous]

No, non ti sbagli - è che ho dimenticato di scrivercelo! Dunque riformulo:

"Determinare ogni coppia $(n,p)$ di interi positivi tali che $p$, $p+2$, $2^n + p$ e $2^n + p + 2$ siano tutti contemporaneamente primi."

Sarebbe stato altrimenti troppo facile, no?