Problema delle vacanze....

[Auron2]

Sia a un numero naturale positivo qualsiasi (escluso lo zero) e n il precedente del doppio di a.
Dimostrare che per ogni valore di a $a*n$ è uguale alla somma dei numeri naturali fino a n.

Ex.:

$a=10$
$n=20-1=19$

$10*19=0+1+2+3+4.....+19$

[Nidhogg]

Il numero $n$ è nella forma $n=2a-1$.
La somma dei primi n numeri naturali $1+2+...+n=(n*(n+1))/2$. Sostistuendo $n$, otteniamo: $((2a-1)(2a))/2=(2a-1)a=n*a$, come da ipotesi.

Saluti, Ermanno.

[Auron2]

Grazie e saluti anche a te.

[Aethelmyth]

Per animare di più il problema, anche se so che sarà una domanda già proposta, potremmo cercare di dimostrare anche perchè la somma dei primi $n$ numeri naturali è uguale a $[n(n+1)]/2$


[size=9]Consideriamola come una progressione aritmetica $[A_n]$ che ha per ragione 1 con $a_1=1$. E' noto che $a_1+a_n=a_(k+1)+a_(n-k)$ $AAn$. Ora la successione può essere scritta come $sum_(i=1)^ni$ o come $sum_(i=n)^1i$ e sommando membro a membro otteniamo $2S=(a_1+a_n)+(a_2+a_(n-1))+(a_3+a_(n-2))+...+(a_n+a_1)$ dove $S$ è la somma di tutti i valori della successione fino a $n$. Ma per la proprietà citata sopra $2S=n(a_1+a_n)$ quindi $S=n(a_1+a_n)/2=(n(n+1))/2$[/size]

[_luca.barletta]

$1+ 2+ 3+ .... +(n-2)+ (n-1)+ n=$ sommando il primo e l'ultimo, il secondo e il penultimo e via dicendo:
$=(n+1)n/2$
infatti se n è pari abbiamo n/2 coppie
se n è dispari abbiamo (n-1)/2 coppie più il numero centrale che bisogna contarlo non come n+1, ma come (n+1)/2, ed ecco che si torna a $(n-1)/2*(n+1)+(n+1)/2=(n+1)*n/2$

[fields1]

Mi è appena venuto in mente un altro modo per calcolare la somma dei primi n naturali.

La somma dei primi n naturali è uguale al numero di sottinsiemi di cardinalità 2 di un insieme A di cardinalità n+1. Infatti se $a_1, a_2,..., a_(n+1)$ sono gli elementi di A, le coppie possibili di A sono delle forma $(a_i,a_j)$ con $i