Produttoria

[giuseppe87x]

Determinare il comportamento di $prod_(n=1)^(infty)(sin(z/n))/(z/n)$ al variare di $zinRR$.

[Sk_Anonymous]

Per ogni $n \in NN^+$ ed ogni $z \in RR$\ $\{0\}$, sia $p_n(z) = \prod_{k=1}^n \frac{k}{z} \sin(\frac{z}{k})$. Banalmente $p_n(z) = p_n(-z)$, ragion per cui possiamo supporre $z > 0$, wlog. Perciò $p_n(z) = \frac{n!}{z^n} \prod_{k=1}^n \sin(\frac{z}{k}) \le \frac{n!}{z^n} \prod_{k=1}^n \frac{z}{k} = 1$. Inoltre $0 < p_n(z) \le p_{n+1}(z)$, definitivamente per $n \in NN^+$, in quanto la funzione ]$0,+\infty$[ $\to RR: x \to \sin(x)/x$ è monotona (strettamente) decrescente in un intorno destro di 0. Pertanto la successione dei prodotti parziali $\{p_n(z)\}_{n \ge 1}$ è convergente, per ogni $z \in R$\ $\{0\}$, poiché limitata e definitivamente monotona.

[giuseppe87x]

Io ho osservato anche che $prod_(n=1)^(infty)sin(z/n)/(z/n)=e^(sum_(n=1)^(infty)log(sin(z/n)/(z/n))$ ma non so come studiare la serie a espontente. Hai qualche idea in proposito DavidHilbert?

[Sk_Anonymous]

"giuseppe87x":Io ho osservato anche che $prod_(n=1)^(infty)sin(z/n)/(z/n)=e^(sum_(n=1)^(infty)log(sin(z/n)/(z/n))$ ma non so come studiare la serie a espontente. Hai qualche idea in proposito DavidHilbert?

Certo! Riportare la convergenza della serie a quella del prodotto e ragionare nei termini in cui ho già fatto.