Giochi Matematici
Discussioni sulla risoluzione di giochi matematici.
Domande e risposte
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se tiro 5 monete di fila (una dopo l'altra), e per quattro volte esce testa, al quinto lancio la probabilità che esca testa è sempre di 1/2?
Abbiamo $144=12^2$ e anche $1444=38^2$, mentre $14444$ non è un quadrato perfetto.
Dimostrare se o se non esistono infiniti quadrati perfetti nella forma $144...4$.
Sto dando un'occhiata al principio di induzione, che non abbiamo fatto (e non credo lo faremo mai al liceo) e a cui il libro dedica non più di 4 pagine.
Ci sono giusto due esempi, ho provato a fare alcuni esercizi ma anche se alcuni vengono, molti non so come farli... mi sembra di girare a vuoto.
Ne posto 3, spero siate genitili da farmi vedere come fate.
Dopo che pongo $n=n_0+1$ non so che fare...
1) Dimostrare che per qualunque n naturale, il numero $5^n+2*3^(n-1)+1$ è ...
Quante solo le k-uple ordinate $(x_1, x_2,..., x_k)$ di numeri dispari positivi tali che la loro somma sia $n$ ?
(ovviamente se $n$ e' pari $k$ si intende pari, e se $n$ e' dispari $k$ dispari. $k<n$, e consideriamo pure $k>3$)
Dimostrare SENZA utilizzare le formule trigonometriche, che se un triangolo rettangolo ha un angolo di 45° allora i cateti avranno misura uguale..
non bloccatevi ad una sola dimostrazione..
Preso un primo $p$, trovare tutte le coppie ordinate $(n,m)$ di interi positivi che verifichino la seguente condizione:
$1/n+1/m=1/p$
In un quadrilatero convesso ABCD i lati AB,BC,CD sono uguali. Inoltre AC=BD=AD. Quanto misura l'angolo in D?
Trovare tre numeri tali che il prodotto di due di essi, aumentato della loro somma, risulti un quadrato
Buona fortuna!!
Ragazzi... magari qualcuno di voi conosce questo giochino:
Io ho la seguente lista:
1 1 1=6
2 2 2=6
3 3 3=6
4 4 4=6
5 5 5=6
6 6 6=6
7 7 7=6
8 8 8=6
9 9 9=6
Tra i tre numeri a sinistra dell'uguale devo inserire un segno di operazione per far venire 6...ora alcuni sono banali... tipo il 2,3....
Ma la persona che mi ha posto questo quesito non mi ha detto che simboli posso inserire... e non riesco a risolvere l'1 ad esempio!!
Mi aiutate?
Grazie
1) Provare che ogni intero positivo $n$ è rappresentabile unicamente nella forma $n=b_0+b_13+...+b_(k-1)3^(k-1)+3^k$, dove $b_i in {-1,0,1}$ per tutti gli $i=0,1,...,k-1$. (Facile, quindi gli esperti postino oscurando).
2) Dimostrare che per $x>=2$ vale $sum_(n<=x)log^2(x/n)=2x+O(log^2x)$.
Buon divertimento.
Provare che se $I \ne {0}$ e' un ideale dell'anello polinomiale $F[x]$, dove $F$ e' un campo, allora esiste un unico polinomio monico $d(x) \in I$, tale che $I$ consiste di tutti i multipli di $d(x)$, cioe' $I={q(x)d(x):q(x)\in F[x]}$.
dimostrare che dati x,y,z>0 allora
$(xy+yz+zx)[1/[(x+y)^2] + 1/[(y+z)^2] + 1/[(z+x)^2]]>=9/4$
Ho inventato un piccolo problemino, spero sia ben posto
Si consideri l'applicazione lineare $f:R[[x]]_{<=n}->R[[x]]_{<=n-1}$ che mappa i polinomi a coeff. reali in x di grado $<=n$
in quelli di grado $<=n-1$ tale che $f(p) = p'$, dove $p'$ e' la derivata di $p$.
Determinare la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica $B_1={1, x, ..., x^n}$ di $R[[x]]_{<=n}$,
e rispetto alla base $B_2={1, 1+x, x+x^2, ..., x^{n-2}+ x^{n-1}}$ di $R[[x]]_{<=n-1}$
Dimostrare che (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc per ogni a, b, c > 0
>= leggasi maggiore o uguale
Obelix
Trovare tutti i primi per cui la forma quadratica $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ ha soluzioni non banali modulo $p$.
Niente bigO
$T(n) = \sum_{k=1}^{n-1}[T(k)+T(n-k)+1]$ con $T(1) = 1$
ho cercato una soluzione esatta ma mi sono ritrovato
cose non proprio carine...
forse ho sonno...
EDIT: le parentesi (uffa)
Ok sono dei teoremi un pò old però sono sempre alla moda..
Dato un operatore $(+,A)$ definito in un insieme A dimostrare che se e SOLO se $(+,A)$ è invertibile allora
$lim_(x->c)f(x)+g(x)=lim_(x->c)f(x)+lim_(x->c)g(x)$
e dimostrare che $EE'lim_(x->c)f(x)$ (non vi bloccate a solo una dimostrazione ma cercate di trovarne delle nuove.. )
Dimostrare che $sum_(k=0)^(+oo) ((n+k),(m+2k))((2k),(k)) ((-1)^k)/(k+1)=((n-1),(m-1))$, con $m,n >=0$.
1)Trovare tutte le soluzioni $in NN$ dell'equazione $6(x!+3)=y^2+5$
2) Sia $f_((x))=4^x/(4^x+2).$ Trovare il valore di $sum_(i=1)^2002 f_((i/2003))
Edit: Corretto
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