Me - just thinking about 1 + 1/2 + ... + 1/n

[Sk_Anonymous]

Per ogni intero $n \ge 1$, sia posto $1 + 1/2 + ... + 1/n = a_n/b_n$, dove $a_n, b_n$ sono interi positivi coprimi fra loro. Mostrare che esistono infiniti $n \in NN^+$ tali che né $a_n$ né $b_n$ siano potenza di numeri primi.

[TomSawyer1]

Devo capire se sbaglio a fare qualche considerazione in questo ragionamento:
supponendo per assurdo che per tutti gli $n$ maggiori di un certo $n_0$ si ha che $sum_(i=1)^n1/i=a_n/b_n$, con $a_n$ e $b_n$ potenze di numeri primi, allora esiste un qualche $n$ per cui $a_n/b_n+1/(n+1)=(a_n(n+1)+b_n)/(b_n(n+1))$. Ora prendiamo gli infiniti casi in cui $n$ sia dispari e $b_n!=2^m$. Si vede che allora $a_(n+1)$ non puo' essere una potenza di un primo.

[carlo232]

"Crook":Devo capire se sbaglio a fare qualche considerazione in questo ragionamento:
supponendo per assurdo che per tutti gli $n$ maggiori di un certo $n_0$ si ha che $sum_(i=1)^n1/i=a_n/b_n$, con $a_n$ e $b_n$ potenze di numeri primi, allora esiste un qualche $n$ per cui $a_n/b_n+1/(n+1)=(a_n(n+1)+b_n)/(b_n(n+1))$. Ora prendiamo il caso in cui $n$ sia dispari e $b_n!=2^m$. Si vede che allora $a_(n+1)$ non puo' essere una potenza di un primo.

Ma io non lo vedo affatto, bisogna dimostrarlo. Posso dire che si può restringere il problema al caso in cui $a_n$ è potenza di un primo, poichè dato un intero $n$ e un primo $p$ tale che $p

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[TomSawyer1]

Ok, allora consideriamo gli infiniti casi in cui $n$ dispari e $!=2^m-1$. $n+1$ è pari, quindi, il denominatore potrebbe essere solo una potenza di $2$, ma abbiamo escluso questa possibilità con $!=2^m-1$.

[carlo232]

"Crook":Ok, allora consideriamo gli infiniti casi in cui $n$ dispari e $!=2^m-1$. $n+1$ è pari, quindi, il denominatore potrebbe essere solo una potenza di $2$, ma abbiamo escluso questa possibilità con $!=2^m-1$.

però sei sicuro che denominatore e numeratore come gli intendi te siano primi tra loro?

[TomSawyer1]

Qui sorgono i miei dubbi. Cioè dimostrare che o numeratore e denominatore siano relativamente primi, o, in caso opposto, dimostrare che il numeratore non può essere in nessun caso una potenza, per qualche caso particolare.

[Sk_Anonymous]

Allora? Sforzate le meningi, su!