Me - 2 easy?: $((2n),n) \cdot 4^{-n}$ non maggiorabile da...

[Sk_Anonymous]

Qui Crook ha suggerito - e pare vl4d l'abbia dimostrato - che, per ogni intero $n \ge 0$: $((2n),(n)) \le 4^n/sqrt(3n+1)$. Ebbene, nel tentativo di risolvere il problema a modo mio, ne ho tirato fuori - come è tipico che accada in questi casi... - un risultato semplice, che però tanto mi piace. Se riuscirà a resistere ai vostri attacchi, vorrà dire che proporrò anche questo per una pubblicazione sulle pagine dell'AMM.

Problema: mostrare che non esistono polinomi $P, Q$ a coefficienti reali tali che deg P < deg Q e definitivamente $((2n),(n)) \le \frac{P(n)}{Q(n)} \cdot 4^n$.

[TomSawyer1]

"DavidHilbert":Ebbene, nel tentativo di risolvere il problema a modo mio, ne ho tirato fuori - come è tipico che accada in questi casi... - un risultato semplice, che però tanto mi piace. Se riuscirà a resistere ai vostri attacchi, vorrà dire che proporrò anche questo per una pubblicazione sulle pagine dell'AMM.

Mi piacerebbe molto sapere quale sia questo "modo". Poi magari facci sapere come va a finire con l'AMM.

Comunque, si chiede di dimostrare che se $degP

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[Sk_Anonymous]

"Crook":
Mi piacerebbe molto sapere quale sia questo "modo". Poi magari facci sapere come va a finire con l'AMM.

Lo farò di sicuro - anche se passerà qualche settimana, prima che possa ricevere qualsiasi risposta dalla redazione della rivista.

"Crook":Comunque, si chiede di dimostrare che se $degP
Sì e no: si chiede di dimostrare che, sotto le ipotesi indicate, non esiste alcun $v \in NN$ tale che, per ogni intero $n > v$: $((2n),(n)) \le \frac{P(n)}{Q(n)} \cdot 4^n$.

[TomSawyer1]

$((2n),(n))<=1/(sqrt(3n+1))*4^n$, che è vera, eppure $degP

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[Sk_Anonymous]

"Crook":$((2n),(n))<=1/(sqrt(3n+1))*4^n$, che è vera, eppure $degP
Da quando in qua una radice è un polinomio?!

P.S.: buon 2007 a tutti.

[TomSawyer1]

Ah, ok, ora ho capito.

Buon anno!

[TomSawyer1]

Se $degP

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[Sk_Anonymous]

Sostanzialmente sì, ma devi mettere a posto alcuni particolari che riguardano il segno dei vari polinomi coinvolti per $n \to \infty$.

[TomSawyer1]

Avevo dei dubbi sulla validità del mio ragionamento. Provo ad andare avanti, allora. Che particolari?

[Sk_Anonymous]

"Crook":Se $degP
Immagino tu voglia dedurre da qui che esiste un'opportuna costante $C > 0$ tale che $1/(d(n)+(r(n))/(P(n))) \le \frac{C}{d(n)}$, definitivamente (per $n \in NN$). Ma questo richiede chiaramente $d(n) > 0$, almeno definitivamente (per $n \in NN$).

[TomSawyer1]

Sì, esatto, col $P(n)$ alla fine intendevo un polinomio generico, che soddisfasse la condizione scritta da te.

[Sk_Anonymous]

Bene, allora procedi pure. In quanto al particolare a cui facevo cenno, basta osservare che, negando la tesi per assurdo, i coefficienti dei termini di massimo grado dei polinomi $P(\cdot)$ e $Q(\cdot)$ debbono essere concordi in segno, e perciò si può supporli wlog entrambi positivi.

[TomSawyer1]

Come detto, allora consideriamo $((2n),(n))<=1/(P(n))4^n$. Poniamo $degP=1$. Supponiamo per assurdo che esiste un $v$ intero tale che $AA n>v$, si ha che $((2n),(n))<=1/(P(n))4^n$. Quindi $((2v),(v))>4^v/(P(v))$, cioe' $((2v),(v))>4^v/(av+c)$, con $a!=0$. Ma e' facile vedere che l'ultima disuguaglianza vale anche per $v+1$, in quanto sara' sempre possibile scegliere $a,c$ reali tali che questo accada.

Però così mi sembra troppo facile, quindi è probabile che abbia sbagliato qualche considerazione.

[Sk_Anonymous]

"Crook":Come detto, allora consideriamo $((2n),(n))<=1/(P(n))4^n$. Poniamo $degP=1$. Supponiamo per assurdo che esiste un $v$ intero tale che $AA n>v$, si ha che $((2n),(n)) <= 1/(P(n))4^n$. Quindi $((2v),(v))>4^v/(P(v))$

No! Il fatto che una data proprietà $P(n)$ definita per $n \in NN$ sia soddisfatta definitivamente a partire da un certo intero $v \ge 0$ non significa che non sia soddisfatta per qualche intero non negativo $\le v$. A meno di non ammettere che $v$ sia il minimo elemento di $NN$ a soddisfare la condizione indicata.

"Crook":[...] cioe' $((2v),(v))>4^v/(av+c)$, con $a!=0$. Ma e' facile vedere che l'ultima disuguaglianza vale anche per $v+1$, in quanto sara' sempre possibile scegliere $a,c$ reali tali che questo accada.

Qui la logica si perde. Fissati $a,c \in RR$, con $a \ne 0$, hai determinato per assurdo un indice $v \in NN$ (possibilmente minimale rispetto a questa stessa proprietà), che è funzione di $a$ e $c$, tale che, per ogni intero $n > v$: $((2n),(n)) <= \frac{4^n}{an+b}$. A questo p.to, non puoi "barare", cambiando al volo i coefficienti $a$ e $c$ e ragionando, però, in termini dello stesso $v$ determinato in precedenza...

[TomSawyer1]

Si', $v$ e' il piu' piccolo intero che soddisfa quella condizione.

Per quanto riguarda il resto, mi sa che mi sono espresso nel peggior modo possibile.

[Sk_Anonymous]

"Crook":Si', $v$ e' il piu' piccolo intero che soddisfa quella condizione.

Se così, non è scontato che $v$ esista. La disuguaglianza postulata potrebbe infatti valere per ogni $n \in NN$. A parte questo, dovresti anche rispondere dell'altra obiezione che ti ho mosso.

[TomSawyer1]

"DavidHilbert":A parte questo, dovresti anche rispondere dell'altra obiezione che ti ho mosso.

Beh, e' chiaro che ho commesso un errore, come ho detto.

[Sk_Anonymous]

Càpita.

[Cmax1]

È noto che $\((2n),(n)) ~~ \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ (è una diretta conseguenza della formula di Stirling), che rappresenta una conferma della tesi. Una dimostrazione che non faccia ricorso ad argomenti asintotici potrebbe essere interessante.

[Sk_Anonymous]

"Cmax":Una dimostrazione che non faccia ricorso ad argomenti asintotici potrebbe essere interessante.

E' quella che si chiede.