Contare le $k$-uple somma $n$

[vl4dster]

Quante solo le k-uple ordinate $(x_1, x_2,..., x_k)$ di numeri dispari positivi tali che la loro somma sia $n$ ?
(ovviamente se $n$ e' pari $k$ si intende pari, e se $n$ e' dispari $k$ dispari. $k3$)

[TomSawyer1]

Partizioni. Il numero di partizioni di $n$ in numeri dispari è dato dalla funzione generatrice $F_("odd")(z)=(1+z)(1+z^2)\cdots$, e il numero di partizioni di $n$ in $m$ interi è dato da $F_m(z)=1/((1-z)(1-z^2)\cdots(1-z^m))$. Basta "combinare" le due per avere quello che si chiede.

[carlo232]

"Crook":Partizioni. Il numero di partizioni di $n$ in numeri dispari è $F_("odd")(z)=(1+z)(1+z^2)\cdots$, e il numero di partizioni di $n$ in $m$ interi è $F_m(z)=1/((1-z)(1-z^2)\cdots(1-z^m))$. Basta "combinare" le due per avere quello che si chiede.

Forse con $F$ intendi la funzione generatrice, ma in tal caso dovresti precisarlo e comunque non sarebbe vero. La funzione generatrice del numero di modi in cui ripartire un intero nella somma di $k$ interi ordinati è $(1-z)^-k$.

[TomSawyer1]

Guarda, il mio libro dice esplicitamente che la funzione generatrice del numero di partizioni di un intero in $m$ interi è $F_m(z)=1/((1-z)\cdots(1-z^m))$, che è anche la funzione generatrice del numero di partizioni di un intero in interi il più grande dei quali sia $m$.

[vl4dster]

Purtroppo non ho ancora studiato le partizioni di interi quindi non so seguirti.
La mia soluzione (ammesso che funzichi) sfrutta il fatto abbastanza noto che
il numero di $k$-uple se gli $x_i$ _non_ sono necessariamente tutti dispari, ma cmq sempre $>0$, e' $((n-1),(k-1))$.

[carlo232]

"Crook":Guarda, il mio libro dice esplicitamente che la funzione generatrice del numero di partizioni di un intero in $m$ interi è $F_m(z)=1/((1-z)\cdots(1-z^m))$, che è anche la funzione generatrice del numero di partizioni di un intero in interi il più grande dei quali sia $m$.

Allora bisogna scrivere all'editore per avvertirlo dell'errata corrige, a meno che non sia sottointeso "partizioni di un intero in $m$ interi distinti", e in tal caso concorderei anche se il problema posto non chiede che gli interi siano tra loro distinti.

[Aethelmyth]

Vediamo, con un adattamento del pidgeonhole considerando l'intero $n$ diviso in $n$ unità, e tenendo presente che $k