Dimostrazione logica
Dimostrare che (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc per ogni a, b, c > 0
>= leggasi maggiore o uguale
Obelix
>= leggasi maggiore o uguale
Obelix
Risposte
Bisognerebbe arrivarci con più logica che calcolo?
una piccola idea per un poveraccio come me?
una piccola idea per un poveraccio come me?
Non vorrei sbagliarmi, ma mi sembra che questo fosse stato un quesito all'esame di stato di qualche tempo fa...
"obelix perfected":
Dimostrare che $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$ per ogni a, b, c $\ge $ 0
Banale come poche. Dalla disuguaglianza AM-GM: $LHS \ge 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2 \sqrt{ca} = 8abc$, dove l'uguaglianza sussiste sse $a = b = c$.
Che cosa dice la disuguaglianaza AM-GM?
"obelix":
Dimostrare che (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc per ogni a, b, c > 0
>= leggasi maggiore o uguale
Obelix
Propongo la generalizzazione, per ogni $n>1$ dimostrare che se $a_1,a_2...a_(n+1)>0$ allora
$prod_(j=1)^(n+1) sum_(i ne j) a_i >=n^(n+1) prod_(i=1)^(n+1) a_i$
anche se non sarà difficile risolverla...
"carlo23":
Propongo la generalizzazione, per ogni $n>1$ dimostrare che se $a_1,a_2...a_(n+1)>0$ allora
$prod_(j=1)^(n+1) sum_(i ne j) a_i >=n^(n+1) prod_(i=1)^(n+1) a_i$
anche se non sarà difficile risolverla...
Tanto perché ho qualche minuto da perdere: esattamente come nel caso $n = 2$, vale $LHS \ge \prod_{i=1}^{n+1} (n \cdot \sqrt[n]{\prod_{i \ne j = 1}^{n+1} a_j}) = n^{n+1} \prod_{i=1}^{n+1} a_i$, per via della disuguaglianza AM-GM.
"obelix":
Dimostrare che (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc per ogni a, b, c > 0
>= leggasi maggiore o uguale
risolvendo con metodi elementati:
sviluppando si ottiene che $a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)>=6abc$
adesso poniamo per ipotesi $a>b>c$ e $b=a/k_1 ; c=a/k_2$ ,sostituiamo nell'equazione e semplifichiamo
dobbiamo dimostrare che $k_1+k_2+k_2/k_1+k_1/k_2>=4$ e quindi poichè $k_2/k_1+k_1/k_2=(k_1^2+k_2^2)/(k_1k_2)>=2$ l'uguaglianza è bell'e dimostrata
"GuillaumedeL'Hopital":
[quote="obelix"]Dimostrare che (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc per ogni a, b, c > 0
>= leggasi maggiore o uguale
risolvendo con metodi elementati: [...][/quote]
E cosa ci sarebbe di non elementare nella disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica?!
"DavidHilbert":
[quote="GuillaumedeL'Hopital"][quote="obelix"]Dimostrare che (a + b)(b + c)(c + a) >= 8abc per ogni a, b, c > 0
>= leggasi maggiore o uguale
risolvendo con metodi elementati: [...][/quote]
E cosa ci sarebbe di non elementare nella disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica?!
[/quote]semplicemente non avevo letto bene i messaggi precedenti
avete qualche altra disuguaglianza per farmi divertire durante qualche lezione noiosa?
Sì, dimostra che $sum_(k=1)^n (phi(2k))/k<=n<=sum_(k=1)^n(phi(2k-1))/(k)$, nel topic di DavidHilbert.
"Crook":
Sì, dimostra che $sum_(k=1)^n (phi(2k))/k<=n<=sum_(k=1)^n(phi(2k-1))/(k)$, nel topic di DavidHilbert.
ma io mi diverto di più con quelle in cui non compaiono nei due rami funzioni particolari di tdn come $phi(k)$ (che ridà il numero dei divisori di k)
"GuillaumedeL'Hopital":
come $phi(k)$ (che ridà il numero dei divisori di k)
No, attenzione, restituisce il numero di interi coprimi con $k$ e $<=k$.
"carlo23":
[quote="GuillaumedeL'Hopital"]
come $phi(k)$ (che ridà il numero dei divisori di k)
No, attenzione, restituisce il numero di interi coprimi con $k$ e $<=k$.[/quote]
ah, quindi tutto l'opposto
ehi idea, quello equivale a dire che la sommatoria dei divisori dei numeri dispari/k è minore della sommatoria dei divisori dei numeri pari/k ma i numeri pari sono dei numeri dispari moltiplicato una potenza di 2 quindi potrebbe essere una strada...
niente? nessuno sa dirmi dove posso trovarne?
La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ti piace?
Quella di Chebycheff? La AM-GM può essere estesa a $min{a_1,ldots,a_n}<=HM<=GM<=AM<=QM<=CM<=max{a_1,ldots,a_n}$.
Quella di Chebycheff? La AM-GM può essere estesa a $min{a_1,ldots,a_n}<=HM<=GM<=AM<=QM<=CM<=max{a_1,ldots,a_n}$.
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